Pisagor Teoremi

06 Kasım 2007

Samos’lu Pisagor’un, Milattan önce 596 yıllarında doğduğu tahmin ediliyor. Doğumu gibi ölüm tarihi de kesin değildir. Bugünkü adıyla bilinen Sisam Adasında 596 veya 582 yılında doğmuştur. Hayatı hakkında çok az bilgiler vardır. Bu bilgilerin birçoğu da kulaktan kulağa söylentiler biçiminde gelmiştir. Fakat, önceleri doğduğu yer olan Sisam Adasında okuduğu, daha sonraları Mısır ve Babil’e giderek oralarda bilgilerini ilerlettiği ve ülkesine geri dönerek dersler verdiği söylenir. Kendisinden önceki bilgilerin tümünü öğrenmiş ve derlemiştir. Kendisi, bir Yunan filozofu ve matematikçisidir. Ülkesinde hüküm süren politik baskılardan kaçarak, İtalya’nın güneyindeki Kroton şehrine gelmiş ve ünlü okulunu burada açarak şöhrete kavuşmuştur. Yarı söylentilere göre felsefe okulunun kurucusudur. Bu okul aynı zamanda dini bir topluluk ve o zamanın politikasına oldukça egemendir. Yine söylentilere göre, Pisagor’un matematik, fizik, astronomi, felsefe ve müzikte getirmek istediği yenilik, buluşlar ve ışıkları hazmedemeyen bir takım siyaset ve din yobazları halkı Pisagor’a karşı ayaklandırarak okulunu ateşe vermişler, Pisagor ve öğrencileri bu okulun içinde alevler arasında M.Ö. 500 yıllarında ölmüşlerdir. Bu nedenle Pisagor ve yaptıkları hakkında az bilgiler bize kadar gelmiştir. Pisagor’un ve öğrencilerinin yaptıklarının birçoğu bu alevler arasında yok olup gitmiştir.

Pisagor, M.Ö. altıncı yüzyılda, dünyanın güneş etrafında hareket ettiğini ileri sürdüğü zaman oldukça sert olan bir hareketle karşılaşmıştır. O tarihlerde kağıt olmadığı için, bu buluşlarını nasıl elde edildiği, yine bu devirlerdeki bilgilerin hangisinin Pisagor’a ait olduğu kesin olarak bilinmemektedir. Hatta, okuldaki öğretim araçlarının masa üzerindeki ıslak kum olduğu söylenir. Bu koşullar altındaki ilmi gerçeklerin tümü o zaman yazıya geçmediği için, birçoğu da zamanla kaybolup gitmiştir. Bu nedenle, Pisagor’un okulu ve öğrencileri ile birlikte yanmalarından, eser bırakıp bırakmadığı da kesin olarak belli değildir. Geometride, aksiyomlar ve postülatlar her şeyden önce gelmelidir. Sonuçlar bu aksiyom ve postülatlardan yararlanılarak elde edilmelidir düşüncesini ilk bulan ve ilk uygulayan matematikçi Pisagor’dur. Matematiğe aksiyomatik düşünceyi ve ispat fikrini getiren yine Pisagor’dur. Çarpma cetvelinin bulunuşu ve geometriye uygulanması, yine Pisagor tarafından yapıldığı söylenir. En önemli buluşlarından biri de, doğadaki her şeyin matematiksel olarak açıklanması ve yorumlanması düşüncesidir. Yaşayış ve inanışı, ilimle açıklama ve yorumlamayı o getirmiştir.

Müzik üzerine de çalışmaları vardır. Müzik tonlarının, telin uzunluğunun oranlarına bağlı olduğunu keşfetmiş ve bunun tüm sayılara yorumlamasını düşünmüştür. Bir yerde bugünkü gerçel ekseni söylemeden düşünmüştür. Bu da, bugünkü kullandığımız gerçel eksenin sayı sisteminde kullanılmasından başka bir şey değildir. Fakat, eski Yunan matematikçileri gerçel sayıları bilmiyorlardı. O zamanlar, rasyonel sayıları uzunlukları ölçmek için kullanıyorlardı. Bunun için belli bir birim alıyorlar ve bu birime oranlayarak iki nokta arasındaki uzunluğu ölçüyorlardı. Rasyonel sayılarla ölçülemeyen uzunluğun keşfi 2600 yıl önce Yunan matematikçileri tarafından olmuştur. Bu sonuçta, halen değerini koruyan ve koruyacak olan ünlü Pisagor teoremine dayanır. Pisagor teoremi, matematikteki en büyük buluşlardan biridir. Hele zamanımızdan 2600 yıl önce bulunduğu göz önüne alınırsa, bundan daha büyük bir buluş düşünülemez. Pisagor’un adını 2600 yıldır andıran, onu ünlü yapan ve insanlığın varolduğu sürece de sonsuza kadar da andıracak meşhur teoremi şudur: Bir dik üçgende, dik kenarlar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamı, hipotenüs üzerine kurulan karenin alanına eşittir.

Pisagor teoremi, rasyonel sayılarla ölçülemeyen uzunluğun da varolduğunu gösterir. Örneğin, yukarıdaki şekilde olduğu gibi, dik kenarları birer birim olan dik üçgeni göz önüne alalım. Geometrik olarak, bu özel hal için, Pisagor teoremi gerçeklenir. Yani, büyük karenin alanı, dik kenarlar üzerine kurulan karelerin alanları toplamıdır. Diğer bir deyimle, x2=2 olur. Bu denklemin kökü de rasyonel olmayan karekök 2 uzunluğudur. Yunan matematikçileri gerçel sayılan bilmiyorlardı. Üstün zekalı Eudoxos tarafından bulunan oranlama yöntemini kullanıyorlardı. Aslında, gerçel sayıların oluşumu kavramı bir ya da birçok insanın buluşu değildir. Rasyonel sayıların günlük hayatta kullanılması sırasında kendi kendine gelişmiştir. On tabanına göre sayıların sayılması ve yazılması, büyük bir olasılıkla iki eldeki parmakların sayılmasından doğmuştur. Şu sırada bile ilkel yaşam sürdüren bazı kabilelerde buna benzer sayma yöntemi vardır. On tabanına göre sayıların yazılması ve okunması, Avrupa’ya Crusades’ten sonra Arap dünyasından gelmiştir. Bunu Araplar Hintlilerden, Hintliler de Helen medeniyetinden aldılar. Yunan’lı astronomlar bu sayı sistemini, M.Ö. 1500 yıllarından beri kullanan, Babil’lilerden almışlardır. "Evrenin hakimi sayıdır. Sayılar evreni yönetiyor" sözleri de Pisagor’a aittir.

Pisagor, Archimedes’ten oldukça farklıdır. Pisagor hem mistik ve hem de matematikçidir. Mistik tarafları çoktur. Bunlar, efsaneleşmiş bir biçimde destan olarak anlatılmış, evren hakkında bu günkü gerçeklere uymayan düşünceler de ileri sürmüştür. Bunları bir tarafa bırakırsak, yine yaşadığı çağa göre matematikçi yönü çok ağır basar. Pisagor, Mısır’da ve Babil’de çok gezdi. Rahiplerden ilim öğrendi. Çok tanrılı olan o zamanın dini inançlarını benimsedi. Yaşadığı çağı ve aldığı rahip eğitimi göz önüne alınırsa, bunda yadırganacak pek bir şey de yoktur. Oldukça doğaldır. Matematiğe ispat fikrini getiren Pisagor için, sosyal ve şahsi yaşantısı bu kadar eleştiriye değmez. Yalnız, Pisagor ve bazı Yunan filozofları, örneğin, Euclides, Eflatun ve Aristo gibi alimleri, yaşadığı devirlerde, bugün için bilinen ilmi gerçeklerde hataya düşmüşlerdir. Bu filozofların felsefeleri, modern matematiğin kurucusu Descartes (1596-1650) ve Newton (1564-1642) kadar, modern fiziğin kurucusu Galile (1564-1642) ve modern kimyanın kurucusu olan Lavoisier (1743-1794) zamanına kadar iki bin yıllık bir gecikmeye neden olmuşlardır. Eğer Yunan’lılar Euclides, Eflatun ve Aristo yerine Archimedes’i izlemiş olsalardı, Descartes, Newton, Galile ve Lavoisier’in kurdukları modern ilme iki bin yıl önce ulaşır ve bugün içinde bulunduğumuz medeniyete iki bin yıl önce varılırdı. Yani, Archimedes’le Newton, Galile ve Lavoisier arasında tam iki bin yıllık ilmi boşluk vardır. Bu boşlukta kolay kolay doldurulamaz. Bu nedenle, Yunan’lıların medeniyetin ilerlemesine iki bin yıllık bir gecikmeye sebep oldukları bir gerçektir. Avrupa’da uzun yıllar egemen olan ve hüküm süren skolastik düşüncenin temeli Yunanistan’da atılmış ve İtalya’da geliştirilmiştir. Bu nedenle de uzun yıllar bu skolastik düşünce yenilememiştir. Bu uğurda çok sayıda ilim adamı yok edilmiştir.

Pisagor’dan önce, geometride, şekillerin aralarındaki bağlılıklar gösterilmeksizin elde edilenler, görenek ve tecrübeye dayanan bir takım kurallardı. Bu nedenle, daha gelen bir yetkili ne demişse o sürüp gidiyordu. Pisagor’un matematiğe ispat fikrini sokması bu yüzden çok önemlidir. O çağlarda çok tanrılı din vardı. Pisagor daha da ileri gidiyor ve "tanrı sayıdır" diyordu. Bu sayılar, 1, 2, 3…, şeklinde bugün bildiğimiz doğal sayılardı. Daha sonra, kendi kendine bir çelişkiye düştüğünü, tamsayıların hatta rasyonel sayıların bile matematiğe yetmediğini, kendi adıyla anılan Pisagor teoremiyle gördü. Buna bir süre karşı da çıktı. Fakat, sonunda bu yenilgiyi kabul etmesini de bilmiştir. Olayda karekök 2 şeklinde rasyonel bir uzunluğun olmaması problemidir. Halbuki Pisagor teoremine göre böyle bir uzunluk vardır. Pisagor’un kuramını yıkan problem, a2=2b2 denklemini gerçekleyen a ve b gibi iki tamsayıyı bulmak olanaksızdır. Pisagor’un karşılaştığı ikinci güçlük, bir karenin kenarının köşegenine bölümünün rasyonel bir sayı olmayışıdır. Bu söylediğimiz, a2=2b2 denkleminde adı geçen olaya eşdeğer olduğu açıktır. Bu problemi bugünkü matematik diliyle söylersek, karekök 2 sayısı irrasyonel bir sayıdır. İşte, karenin köşegeni gibi basit bir uzunluk, Pisagor’un doğal sayılar kümesine meydan okuyarak, Pisagor’un ilk felsefe kuramını yalanlamıştır. Böylece, hiç bir zaman tekrar etmeyen sonsuz ondalıklı olan irrasyonel sayı bulunmuş olunur. Pisagor’un bu buluşu, modern analizin kökünü keşfetmiştir. Bu problem bir yerde, sıfır ile iki sayısı arasını rasyonel sayılarla kaplayabilir miyiz sorusunu doğurur. Yanıt hemen hayır olacaktır. Çünkü, 0<karekök 2<2 olan karekök 2 sayısı rasyonel değildir. 1,41 ile 1,42 sayıları arasında rasyonel olmayan bir sayıdır. Öyleyse, sayı doğrusu üzerindeki her bir noktaya bir gerçel sayı karşılık gelir postülatını şimdilik kabul edebiliriz. Bu görüşe Pisagor’culuk denir ve bu görüşe ileride Kronecker tarafından itiraz edileceğini hemen söyleyelim.

İşte, sayı doğrusu üzerinde rasyonel sayılarla sıfır sayısından iki sayısına sürekli olarak gitmek mümkün diyenlerle, mümkün değildir diyenler arasında uzun yıllar tartışma olmuştur. Yüzyılımızda çıkan Brouwer’e kadar bu tartışma çeşitli şekillerde karşımıza çıkmıştır. Mümkün değil diyenler hiç bir ilerleme göstermeden yerinde saymışlar ve az hata yapmışlar fakat, mümkün diyenlerse çalışarak ve biraz da fazla hata yaparak bugünkü modern matematiğe ulaşmışlardır. Doğrunun sürekli olup olmadığı uzun yıllar tartışılmıştır. Pisagor, bu kuramlarla, sayılar aracılığıyla ve kendi yöntemleriyle evrenin doğal dengesini ve evrendeki cisimlerin ilişkilerini açıklamaya çalışmıştır. Şüphesiz, bu görüş ve düşünüşlerin birçoğu bugün geçerli değildir. Yine de, modern matematiğin temelini Pisagor atmıştır. Halbuki, M.Ö. 500-428 yıllarında Pisagor devrinde yaşamış olan Anaksgoras, Güneş’i, Dünya’dan kat kat daha büyük kızgın bir demir kütlesi olarak tanımlamıştır. Ay ışığının Güneş’ten gelen ışınların bir yansıması olduğunu da öne süren kişi olduğu da sanılmaktadır. Bu nedenle, Pisagor mistik olduğu kadar üstün zekalı bir matematikçidir sıfatları yerinde kullanılmıştır.

Üslü İfadeler

06 Kasım 2007

TANIM: : a bir reel gerçel sayı ve nÎZ+ olsun. a.a.a…a=an olacak şekilde, n tane a’nın çarpımı olan an e üslü ifadeler denir.

Örnek/ a) 3.3.3.3=34 b) c)

UYARI :8 a bir reel sayı ve nÎZ+ olmak üzere a+a+a+…+a = n.a olduğu için an ile n.a ifadeleri birbirine karıştırılmamalıdır. Yani an ¹ n.a dır.

Örnek / 2+2+2+2+2 = 5.2 olup aynı şekilde 2.2.2.2.2 = 25 olduğuna dikkat edilmelidir.

Not : 1-) a¹0 olmak şartıyla a0 = 1 dir.

2-) 00 = ifadesi tanımsızdır.

3-) 1n = 1 dir (nÎIR)

Örnek/ a) 80 =1 b) c) ( bu gibi örneklerde parantez içinin bilinmesi gerekir.) d) 115 =1 e) 1-15 = 1 f)

—————Üssün Üssü——————–

Tanım8 Bir üslü ifadenin üssü üslerin çarpımına eşittir. Kural

Örnek/ a) ( 52)3 = 52.3 =56 b) c)

Not / 1- şeklindeki bir yazılım ifadesi yanlıştır. Çünkü n sayısının; m nin üssümü yoksa am nin üssümü olduğu belli değildir.

2- dir. Üslerin parantezlerle neyin üssü olduğu belirtilmelidir.

Örnek / olduğunu gösterin.

a) = 32.3 =36 = 729

b) = 32.2.2 = 38 =6561

Sonuç : a ve b değerlerinden yukarıda verilen eşitsizliğin doruluğu görülmüştür.

————————-Negatif Üs Kavramı—————–

Tanım 8 a bir reel sayı olmak üzere dir. Benzer şekilde a¹0 ve b¹0 olmak üzere

Örnek / 5-1 + 5-2 = ?=

Örnek /

————————Bir Reel Sayının Üssü——————-

Tanm8 Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. Kural a > 0 &THORN; an > 0 dır.

Örnek / a) 42 = 16 > 0 b) 4-2 = c) 40 = 1 > 0

Tanım : 1- Negatif sayıların Çift Kuvvetleri Pozitiftir. Kural a < 0 ve n bir çift sayı ise an > 0

Tanım : 2- Negatif sayıların Tek Kuvvetleri Negatiftir.Kural a < 0 ve n bir tek sayı ise an < 0

Örnek / 1- (-4)2 = 16 > 0

Örnek / 2- (-4)3 = -64 < 0

Not 8 a > 0 ve n bir çift sayı ise (-a)n ¹ -an eşitsizliği doğrudur.

Örnek / 1- (-2)4 ¹ -24 Çünkü (-2)4 = (+16) ve –24 = -2.2.2.2= -16

Örnek / 2- (-5)3 + (-53) = (- 125) + (-125) = (-250)

Örnek / 3- (-5)4 + (-54) = (+625) + (-625) = 0

Örnek / 4- (-3)3 + (-52) + (-4)2 = (-27) + (-25) + (+16) = (-36)

———————Üslü İfadelerde Dört İşlem——————-

1- Toplama ve Çıkarma İşlemi

Tanım : Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin üs ve tabanlarının aynı olması gerekir

Kural :4 a.Xn b.Xn = (a b).Xn

Örnek / 1- 5.103 + 2.103 = (5+2).103

Örnek / 1- 5.103 – 2.103 = (5-2).103

Not8 m ¹ n ise am an işlemi bu haliyle yapılamaz.

Örnek / 105 + 104 = işleminde 5 4 olup düzenleme yaparak işlem tamamlanır.

1.105 = 10.104

Burdan 10.104 + 1.104 = (10+1). 104

Örnek / 55 + 54 = 5.54 + 54 = (5+1). 54

2- Çarpma ve Bölme İşlemi

Tanım: Bir üslü ifadede Çarpma ve Bölme İşleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin tabanlarının ayını olması gerekir.

Kural 8/ 1- (a.Xm) .(b.Xn) = (a.b).Xm+n

Kural 8 2- (a.Xm) ¸ (b.Xn) = (a¸b).Xm-n veya

Örnek / (2.52 ) . (3.54) = 2.3.52+4 =6.56

Örnek / (8.36) ¸ (4.32) =

Örnek /

Örnek / 15a = 3a-2 olduğuna göre 5a nın değerini bulalım.

15a = 3a-2 = (3.5)a = şeklinde yazılırsa

15a = 3a-2 = (3.5)a =

= 3a.5a =

= 32 . 3a.5 a = 3a

= 9.5a =

= 9.5a = 1

= 5a=

——————Üslü Denklemler——————–

1- Tabanları Eşit Olan Denklemler:

KURAL:8 Tabanları eşit olan üslü denklemlerin üsleri de eşittir.

a ¹ 0, a ¹ -1, a ¹ 1 olmak üzere am = an &THORN; m=n dir

ÖRNEK/ 1- 2x = 25 &THORN; x=5 tir.

2- 3x = 81 &THORN; 3x= 34 &THORN; x=4 tür.

3- 2x+8 = 8 olduğuna göre, x=?

2x+8 = 2x . 28 olup

2x . 28 = 8 yerine konur ise, burdan 8 = 23 olup

2x . 28 = 23

2x = 23¸ 28

2x = 23-8

2x = 2-5 olup burdan x = -5 bulunur.

ÖRNEK / eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

ÇÖZÜM / 5x+1-(2-x) = (53)x-3

5x+1-2+x= 53(x-3)

52x-1= 53x-9 (Tabanlar eşit olup üsler eşit olmalıdır.)

2x-1 = 3x-9

2x –3x = -9+1

-x = -8

x = 8

2- Üsleri eşit olan denklemler:

KURAL 8 Üsleri eşit olan denklemlerde üs tek sayı ise tabanları eşit, üs çift sayı ise tabanlar eşit yada biri diğerinin ters işaretlisine eşittir.

n tek sayı ve an = bn &THORN; a=b dir.

n çift sıyı ve an = bn &THORN; a=b veya a = -b dir.

ÖRNEK/ 1- x3=53&THORN; x=5 tir.

2- (x+7)3=(3x-11)3 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

Çözüm: 3=3 yani üsler eşit olduğundan tabanlarda eşit olmak zorundadır. Burdan,

(x+7) = (3x-11) olup parantezleri açalım

x+7 = 3x-11

7+11= 3x-x

18 = 2x

x =

x = 9

ÖRNEK / (2X+3)4= (X-2)4 eşitliğini sağlayan x değerlerini bulalım.

ÇÖZÜM / 4çift sayı olduğu için

(2x+3)4= (X-2)4 &THORN;

2x+3= x-2 Veya 2x+3= -(x-2)

2x-x= -2-3 Veya 2x+3= -x+2

x=5 Veya 2x+x= 2-3

3x = -1

x=

KURAL 8 xn = 1 şeklinde olan denklemler.

Bu tür denklemlerin çözümünde 3 durum vardır.

Xn = 1 &THORN;

ÖRNEK / 1- 18 = 1 dir. Çünkü 1 in tüm reel kuvvetleri 1 dir.

2- 50 = 1 dir. Çünkü 0 dışındaki tüm reel sayıların 0 ıncı kuvvetleri 1 dir.

3- (-1)6 = 1 dir. Çünkü (-1) in tüm çift kuvvetleri 1 dir.

4- 53x-15 = 1 ise x=?

Çözüm: 53x-15 = 1 ise

3x-15 = 0 olmalıdır,burdan

3x = 15

x = 15¸3

x =

ÖRNEK / (5x+3)7 = 1 ise x değerini hesaplayın.

ÇÖZÜM: (5x+3)7 = 17 (17=1 olup ) Burdan bu eşitliğin tabanları eşit olmalıdır.

(5x+3) = 1

5x+3 = 1

5x = 1-3

5x = -2

x =

ÖRNEK / (x+3)x-2= 1 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

ÇÖZÜM / 1. DURUM..: x+3=1&THORN;x=1-3

x=-2——(ª)

2. DURUM..: x-2=0–.–(ª)

x=2——-(ª) Bu kök üssü sıfır yapmadığı için alınır.

3. DURUM…: X+3= -1

x=-4——(ª) Bu kök yazıldığında üs çift sayı olacağı için, bu kök de alınır. O halde denklemi sağlayan x değerleri : -4 , -2 , 2 dir.

ÖRNEK / işleminin sonucunu üslü ifade olarak yazalım.

ÇÖZÜM / = 6.10x

=3.5x

=

=2.2x

=21 . 2x

=21+x

Bölünebilme

06 Kasım 2007

2 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 2 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod2) olmalı

x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . . +a1.101+a0

10 º 0(mod2) olduğuna göre "n∈N için 10n º 0 (mod2)

x º 0+0+0+ . . . +a0 º 0 (mod2) olmalı.

Demek ki a0 º 0(mod2) olmalı.

O halde son basamaktaki sayı çift olmalıdır.

3 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod3) olmalı

x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . . +a1.101+a0

10 º1 (mod3) olduğuna göre "n∈N için 10n º 1(mod3)

x º an.1+an-1.1+ . . . +a.1+a0 º 0 (mod3) olmalı

Demek ki an+an-1+an-2+ . . . +a1+a0 º 0 (mod3) olmalı

O halde rakamlarının toplamı 3 ün katı olmalıdır.

4 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için

x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . .+a2.102+a1.101+a0 º0 (mod4) olmalı

101 º 2 (mod4)

102 º 0 (mod4)

103 º 0 (mod4)

104 º 0 (mod4)

O halde

x º an.0+an-1.0+ . . . +a2.0+a1.10+a0 º 0 (mod4)

a1.10+a0 º 0 (mod4) olmalı

O halde sayının son iki basamağındaki sayı 4 ile tam bölünebilmelidir.

5 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . .a0 sayısının 5 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod5) olmalı

x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . .+a1.101+a0

10 º 0 (mod5) olduğuna göre "n∈N için 10n º 0(mod5)

x º an.0+an-1.0+ . . . +a1.0+a0 º 0 (mod5) olmalı

a0 º (mod5)

O halde son basamaktaki sayı 0 ya da 5 olmalıdır.

6 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . .a1a0 sayısının 6 ile tam bölünebilmesi için

x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod6) olmalı

6 = 2 . 3 olduğuna göre x º 0 (mod6) ise

x º 0 (mod2) ve x º 0 (mod3) olmalıdır.

O halde hem 2 ile hem de 3 ile bölünebilme kuralını birlikte sağlamalıdır.

7 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . .a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için

x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod7)

101 º 3 (mod7)

102 º 2 (mod7)

103 º 6 º -1 (mod7)

104 º-3 (mod7)

105 º-2 (mod7)

106 º 1 (mod7)

x = . . . +a6.(1) + a5.(-2)+a4.(-3) + a3.(-1) + a2.2+a1.3+a0 = 0 (mod7)

+ – +

O halde sayının basamaklarının sağdan sola doğru 3’er 3’er grupladıktan sonra her grup sırasıyla birer birer (+) yada (-) işaretleri koyulduktan sonra sağdan sola doğru her basamaktaki sayıyı sırasıyla işaretleri ve “1”,”3” ve “2” sayılarıyla çarptıktan sonra bulunan toplam sayı 7’nin katı olmalıdır.

8 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 8 ile tam bölünebilmesi için

x º 0(mod8) olmalı

x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod8) olmalı

101 º 2 (mod8)

102 º 4 (mod8)

103 º 0 (mod8) "n∈N+ ve n ³ 3 için 10n º 0 (mod8)

104 º 0 (mod8)

x = an.0+an-1.0+ . . . + a3.0+a2.102+a1.10+a0 º 0 (mod8) olmalı

a2.102+a1.10+a0 = a2a1a0 º 0 (mod8) olmalı

O halde son 3 basamağındaki sayı 8 in katı olmalıdır.

9 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için

x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0 (mod9) olmalı.

10 º 1(mod9) "n∈N için 10n º 1(mod9)

x = an.1+an-1.1+an-2.1+ . . . +a1.1+a0 º 0 (mod9) olur

an+an-1+an-2+ . . . a1+a0 º 0 (mod9) olur.

O halde sayının rakamlarının toplamı 9’un katı olmalıdır.

11 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod11) olmalı

x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0

101 º -1 (mod11)

102 =100 º 1 (mod11)

103 º-1 (mod11)

104 º 1 (mod11)

105 º-1 (mod11)

106 º 1 (mod11)

x = an.(1)+an-1.(-1)+an-2.(1)+ . . . +a2.(1)+a1.(-1)+a0

an-an-1+an-2+ . . . +a2-a1+a0 º 0 (mod11)

O halde sayının rakamları sağdan sola doğru (+1) ve (-1) ile çarparak toplandığında bulunan sayı 11’in katı olmalıdır.

21 İle Bölünebilme

21 = 3 . 7

Hem 3 hem de 7 ile bölünebilme kurallarını birlikte sağlamalıdır.

Oran-orantı

06 Kasım 2007

ORAN: Aynı birimle ölçülen iki çokluğun birbirine bölümüne oran denir.Oran birimsiz bir sayıdır.

ÖRNEKLER

1. Aydan`ın parası 100.000 TL 1

———————————— = ————————— = ———

Zeynep`in parası 200.000 TL 2

2. 3 m 3 7 kg 7 5 cm 5

———— = —— , ———— = —— , ———— = ——— gibi

5 m 5 9 kg 9 7 cm 5

ORANTI:İki oranın eşitliğine orantı denir.

ÖRNEKLER

1. içler

a c  

—— = —— orantısında ; a : b = c : d gösterir.

b d  

dışlar

2. 3 9

—— ve —— oranlarını karşılaştıralım.

5 15

3 9 9 : 3 3 3 9

—— —— = ——— = —— —— = ——  Orantı

5 15 15 : 5 5 5 15

içler içler

3 9

—— = —— ⇒ 3 : 5 = 9 : 15

5 15

dışlar

ORANTININ ÖZELLİKLERİ1.

İçler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.

3 9 3 × 15 = 9 × 5

—— ——

5 15 45 45

ÖRNEK – 1

4 16

—— ve ―― oranları bir orantı oluşturur mu ?

5 20

ÇÖZÜM

İki oranın içler çarpımı dışlar çarpımına eşit ise orantı oluşturur.

4 16

—— ——

5 20

4 × 20 = 5 × 16

80 = 80 o halde

4 16

—— = —— orantıdır.

5 20

ÖRNEK – 2

7 11

—— ve —— oranları bir orantı oluşturur mu ?

8 30

ÇÖZÜM

İçler çarpımı dışlar çarpımına eşit ise orantı oluşturur.

7 11

—— ——

8 30

7 × 30 ≠ 8 × 11

210 ≠ 88 o halde

7 11

―― ≠ ―― orantı değildir.

8 30

2.Oranların tersleri alınabilir.

a c b d

―― ―― ⇒ ―― ――

b d a c

3.İçler veya dışlar yerdeğiştirebilir.

a c a b

—— —— ⇒ —— ——

b d c d

4.Bir orantıda payların toplamı ( veya farkı) paya , paydaların toplamı ( veya

farkı ) paydaya yazılırsa oran değişmez.

a c a + c a – c

—— = —— = k ise ———— = k ———— = k

b d b + c b – d

BİLİNMEYEN TERİMİ BULMAKÖRNEK – 1

4 ▲

—— = —— orantısında ▲ yerine hangi sayı gelmelidir ?

5 35

1.ÇÖZÜM

4 4 × 7 28

—— = ———— = ——— O halde ▲ = 28 olmalıdır.

5 5 × 7 35

2.ÇÖZÜM

4 ▲

—— —— ( İçler ve dışlar çarpımı uygulanır.)

5 35

5 × ▲ = 4 × 35

5 × ▲ = 140 ( Çarpmanın ters işlemi bölmedir.)

▲ = 140 : 5 = 28

ÖRNEK – 2

32 8

—— = —— orantısında ■ yerine hangi sayı gelmelidir ?

40 ■

1.ÇÖZÜM

32 32 : 4 8

—— = ———— = —— O halde ■ = 10 olmaldır.

40 40: 4 10

2.ÇÖZÜM

32 8

—— —— ( İçler ve dışlar çarpımı uygulanır.)

40 ■

32 × ■ = 40 × 8

32 × ■ = 320 ( Çarpmanın ters işlemi bölmedir.)

■ = 320 : 32 = 10

ORANTILI ÇOKLUKLAR

Orantılı çokluklar , doğru orantılı ve ters orantılı çokluklar olmak üzere iki çeşittir.

1.DOĞRU ORANTILI ÇOKLUKLAR

Aynı tür çokluklar birlikte azalır ve çoğalırsa orantı doğrudur denir.

azalır

ekmek (adet) 1 2 3 çoğalır

para (TL) 35.000 70.000 105.000 çoğalır

azalır

Ekmek ve para çokluğu birlikte azalıp birlikte çoğaldıkları için doğru orantılı çokluklardır.

ÖRNEK – 1

4 ekmek 140.000 TL olursa 9 ekmek kaç TL olur ?

A) 300.000 B) 310.000

C) 315.000 D) 400.000

ÇÖZÜM

4 ekmek 140.000 TL olursa

9 ekmek ? TL olur

D.O.

9 × 140.000

? = ———————————— = 315.000 TL

4

CEVAP : C

ÖRNEK – 2

Bir kamyon 4 saatte 360 km yol giderse aynı hızla 7 saatte kaç km yol gider ?

A) 600 B) 630 C) 635 D) 640

ÇÖZÜM

4 saatte 360 km giderse

7 saatte ? km gider

D.O. 90

7 × 360

? = ————————— = 630 km

4

1 CEVAP : B

 UYARI

Orantıda aynı cins çokluklar alt alta yazılmalıdır.

2.TERS ORANTILI ÇOKLUKLAR

Aynı tür çokluklardan biri azalırken , diğeri çoğalıyorsa veya biri çoğalırken , diğeri azalıyorsa ; böyle çokluklara ters orantılı çokluklar denir.

Azalıyor Artıyor

İşçi sayısı 1 2 3 4 6 8 12 24

Zaman ( gün ) 24 12 8 6 4 3 2 1

Artıyor Azalıyor

Tabloda görüldüğü gibi ; işçi sayısının artışına bağlı olarak , işin bitirilme süresi

( gün sayısı ) azalmaktadır. Bir başka deyişle ; işçi sayısı azalırken , işin bitirilme süresi artmaktadır

ÖRNEK – 1

Bir işi 6 işçi 15 günde yaparsa 9 işçi kaç günde yapar ?

ÇÖZÜM

6 işçi 15 günde yaparsa

9 işçi ? günde yapar

T.O.

6 × 15

? = ————— = 10 günde yapar .

9

Doğal Sayilar

06 Kasım 2007

DERSİN ADI : MATEMATİK

SÜRE : 40′ + 40′

KONU : DOĞAL SAYILAR

HEDEF : Doğal Sayıları ve Doğal Sayıların Özelliklerini Kavrama

DAVRANIŞ :

Denk kümeler ve Doğal sayılar arasındaki ilişkinin söylenmesi

Doğal sayıların sayı doğrusu üzerinde gösterilmesi.

Ardışık sayıların tanımlanması

Doğal sayıların sıralanması

İki doğal sayı arasındaki doğal sayıların sayısını bulma.

ARAÇ GEREÇ :1- ders ve kaynak kitaplardaki alıştırmaların çözülmesi

İŞLENİŞ :

DOĞAL SAYILAR

DOĞAL SAYILAR KÜMESİ VE ONLUK SAYMA SİSTEMİ:

Denk Kümeler ve Doğal Sayılar:

Kümelerin eleman sayısını gösteren 0, 1, 2, 3 .. gibi sayıların her birine doğal sayı denir, doğal sayılar sıfırdan başlar , sonsuza kadar devam eder. Doğal sayıların oluşturduğu kümeye Doğal Sayılar Kümesi denir, N ile gösterilir.

N = { 0, 1, 2, 3, 4, …. }

Sayma Sayıları:

Suluova da kaç tane ilköğretim okulu vardır? Sorusuna karşılık verilen "bir, iki, üç … " sayılarına sayma sayıları denir. Sayma sayılarının oluşturduğu kümeye sayma sayıları kümesi denir. S ile gösterilir.

S = { 1, 2, 3, 4, … }

Ayrıca 0Ï S olup

S Ì N veya N É S

dir

Doğal sayıların sayı doğrusu üzerinde gösterilmesi

Bir doğru üzerinde belirli bir nokta (0) sıfır noktası olmak üzere, sıfır noktasının sağ tarafını eşit aralıklara bölelim. Bu her bir noktayı sırayla 0,1,2,3.. ile eşleyelim. Doğal sayıların üzerinde gösterildiği bu doğruya sayı doğrusu denir.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sayı doğrusu üzerindeki bir doğal sayı; solundaki tüm doğal sayılardan küçüktür.

örneğin "7 büyüktür 6" 7>6 veya "6 küçüktür 7" 6<7 ile gösterilir.

Ardışık Sayılar:

Bir doğal sayının bir fazlası olan doğal sayıya o doğal sayının ardışığı denir. Ardışık iki doğal sayı arasında başka bir doğal sayılar yoktur.

4 ün ardışığı 4+1=5 4 < 5

Doğal Sayılarda Sıralama:

Her han gi sayıdaki doğal sayıdan sayı doğrusundaki yerleri göz önüne alınarak en solda bulunan doğal sayı en küçüğüdür.

Bir başka deyişle sayı doğrusu üzerindeki dizilişleri küçükten büyüğe doğru dizilişle aynıdır.

15 17 21

15 < 17 < 21

veya

21 > 17 > 15

dir

İki Doğal Sayı Arasındaki Doğal Sayıların Sayısını Bulma:

İki doğal sayı arasında kaç tane doğal sayı olduğunu bu sayıların farkından 1 çıkararak buluruz.

Örnek:

81 ile 52 arasında kaç tane doğal sayı vardır?

81 – 52 = 29

29 – 1 = 28

28 tane doğal sayı vardır.

DEĞERLENDİRME:

2,9,13,12,7,6,4,8 doğal sayılarını sayı doğrusu üzerinde gösterin

29 sayısından sonra gelen ardışık beş tane doğal sayı yazın.

540, 65, 373, 432, 5 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayın.

54 ile 98 sayıları arasında kaçtane doğal sayı vardır?

2000 yılı ile 1923 yılı arasında kaç yıl vardır.

DERSİN ADI : MATEMATİK

SINIF : 6 -A

SÜRE : 40′ + 40′

KONU : DOĞAL SAYILAR

HEDEF : Onluk sayma sistemi, rakamların basamak ve sayı değerlerini kavrama

DAVRANIŞ :

Onluk sayma sistemini tanımlama

Bir doğal sayıyı rakamla yazma

Bir doğal sayının basamak ve sayı değerlerini yazma

ARAÇ GEREÇ :1- ders ve kaynak kitapları

0İŞLENİŞ :

ONLUK SAYMA SİSTEMİ

Sayma işlemi sonucunda bulunan sayıyı yazma ve işlem yapma kolaylığı bakımından en uygun sayma sistemi onluk sayma sistemi . Sayıları onluk sistemde yazmak için on tane rakam kullanılır bu rakamlar

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

bir iki üç dört beş altı yedi sekiz dokuz sıfır

bu rakamlara bir basamaklı doğal sayılar denir.

Sayıda; rakamın bulunduğu yere, basamak denir. Sayı yan yana kaç rakam ile yazılmışsa basamak sayısı da o kadardır. 23 sayısı iki basamaklı bir sayıdır. 3 ün yazıldığı yere birler basamağı, 2 nin yazıldığı yere onlar basamağı denir.

23 = 2.(10) + 3.(1)

23 sayısı 2 onluk ve 1 birlikten oluşur.

Benzer şekilde; 146 sayısı 1 yüzlük, 4 onluk, 6 birlikten oluşur ve

146 = 1.(100) + 4.(10) + 6.(1)

şeklinde yazılır.

Onluk gruplar halinde oluşturulan bu sayma düzenine onluk sayma sistemi denir.

Basamaklar, onluk sayma sisteminde sağdan sola doğru; birler, onlar, yüzler, binler, onbinler, yüzbinler,.. diye adlandırılır.

Onluk sayma sisteminde her basamak değeri sağındakinin on katıdır.

Çok büyük sayıların yazılıp okunması için; sayının basamakları, sağdan başlanarak üçerli gruplara ayrılır. Bu grupların her birine bölük denir.

MİLYONLAR BÖLÜĞÜ BİNLER BÖLÜĞÜ BİRLER BÖLÜĞÜ

Yüz milyonlar On milyonlar Milyonlar Yüz binler On binler Binler Yüzler Onlar Birler

milyonlar binler birler

bölüğü bölüğü bölüğü

654 612 764

birler basamağı

onlar basamağı

yüzler basamağı

binler basamağı

on binler basamağı

yüz binler basamağı

milyonlar basamağı

on milyonlar basamağı

yüz milyonlar basamağı

Çok büyük bir doğal sayı okunurken şu yol izlenir.

Sayı, sağdan sola doğru bölüklere ayrılır.

En soldaki bölükten başlayarak, bölükteki sayılar okunur, arkasından bölüğün adı söylenir ve sıra ile sağa doğru devam edilir.

En sağdaki bölükte bulunan sayı okunur, bölük adı söylenmez.

Bütün basamaklarda sıfır olan bölük okunmaz.

Buna göre 345,128,307 sayısının okunuşuna yazalım

üç yüz kırk beş milyon yüz yirmi sekiz bin üç yüz yedi

Rakamların Basamak Ve Sayı Değerleri

Rakamların basamak değeri

Sayıdaki bir rakamın bulunduğu basamağa göre aldığı değere, bu rakamın basamak değeri denir.

2546 basamak değeri

6.1 = 6

4.10 = 40

5.100 = 500

2.1000 = 2000

toplam 2546

Not : Basamak değerlerinin toplamı sayının kendisidir.

Rakamın sayı değeri

Rakamın bulunduğu basamağa bağlı olmadan tek başına gösterdiği sayıya, bu rakamın sayı değeri denir.

Rakamın sayı değeri hiç değişmez

sayı değeri

8

5

7

olur.

DEĞERLENDİRME:

152,123,090 sayısının okunuşunu yazın.

On milyon üçyüz altı bin kırk üç sayısının rakamla yazılışı nedir?

23901 sayısının basamak ve sayı değerlerini yazın.

1050195 sayısında sayı değeri aynı olan kaç basamak vardır?

DERSİN ADI : MATEMATİK

SINIF : 6 -A

SÜRE : 40′ + 40′

KONU : DOĞAL SAYILAR

HEDEF : Üslü doğal sayıları kavrama

DAVRANIŞ :

Bir doğal sayının üslü biçimde yazılması

Üslü bir sayma sayısının değerini bulup yazma

10 un üsleri

Üslü doğal sayılarda sıralama

Onluk sistemde verilen bir sayıyı çözümleme

Onluk sistem çözümlenerek verilmiş bir sayıyı yazma ve okumu

ARAÇ GEREÇ :1- ders ve kaynak kitapları

İŞLENİŞ :

ÜSLÜ DOĞAL SAYILAR

Bir doğal sayının üslü biçimde yazılması

üs

53 = 5 . 5 . 5

3 tane

taban

Yukarıdaki 53 ifadesine üslü ifade denir. Üslü ifade tabanının üs kadar yan yana yazılıp çarpılması demektir.

Bir sayının üssü, o sayıdan kaç tanesinin yan yana yazılıp çarpılacağını gösterir.

Özel olarak bir sayının 2. kuvvetine sayının karesi, 3. kuvvetine sayının küpü denir.

43 ifadesi “dördün küpü” şeklinde okunur.

23 = 2.2.2 = 4.2 = 8

34 = 3.3.3.3 = 9.9 = 81

Üslü bir sayma sayısının değerini bulup yazma

Üslü bir sayma sayısının değeri, sayının üssü kadar yan yana yazılıp çarpılması ile bulunur.

Örnek

43 = 4.4.4 = 16.4 = 62

53 = 5.5.5 = 25.5 = 125

24 = 2.2.2.2 = 4.4 = 16

Not :

1 in bütün kuvvetleri 1 e eşittir

Üssü 1 olan doğal sayı kendine eşittir ve ayrıca her doğal sayı üssü 1 olan bir üslü sayıdır

Üssü 0 olan doğal sayı 1 e eşittir

0 ın bütün üsleri 0 dır

10 un üsleri

üslü ifade çarpan değeri

100 1 1

101 10 10

102 10.10 100

103 10.10.10 1000

104 10.10.10.10 10000

105 10.10.10.10.10 100000

106 10.10.10.10.10.10 1000000

107 10.10.10.10.10.10.10 10000000

108 10.10.10.10.10.10.10.10 100000000

109 10.10.10.10.10.10.10.10.10 1000000000

Üslü doğal sayılarda sıralama

Eğer üslü ifadelerin tabanları aynı üsleri farklı ise; üssü büyük olan büyüktür.

Eğer üslü ifadelerin üsleri aynı tabanları farklı ise; tabanı büyük olan büyüktür.

Tabanları ve üsleri farklı ise; bu durumda karşılaştırma yapmamız için sayıların değerini bulmalıyız, daha sonra sıralayabiliriz.

Not Üslü bir ifadede

üsle taban yer değiştirilirse sayı değişir.

Onluk sayma sisteminde verilen bir sayıyı çözümleme

Bir sayıyı basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazmaya sayıyı çözümleme denir.

Örnek: 204 sayısının çözümleyin

204

4 4.1 = 4

0 0.10 = 0

2.100 = 200

204 = 4.1 + 0.10 + 2.100

bunu 10 un üslü biçimi ile yazarsak

204 = 4.100 + 0.101 + 2.102

Onluk sistemde çözümlenmiş bir sayıyı yazma ve okuma

Çözümlenerek verilmiş bir sayıyı toplarsak sayının kendini buluruz.

5.103 + 1.102 + 0.101 + 4.100 = 5000 + 100 + 0 + 4

= 5104

DEĞERLENDİRME:

4 ün 6. Kuvveti ile üslü biçimde yazın

73 ün değeri nedir?

10 un 5. Kuvveti nedir?

53 , 51 , 52 üslü ifadelerini sıralayın

3501 sayısını çözümleyin

3.104 + 5.103 + 0.102 + 8.101 + 2.100 çözümlenmiş sayısının değerini bulun

DERSİN ADI : MATEMATİK

SINIF : 6 -A

SÜRE : 40′ + 40′

KONU : DOĞAL SAYILAR

HEDEF : Doğal sayılar kümesinde toplama işlemi ve özelliklerini kavrama

DAVRANIŞ :

Topla işlemini tanımlama

İkiden fazla doğal sayının toplamını bulma

Yan yana toplama

Basamaklarda verilmeyen rakamları bulma

ARAÇ GEREÇ :1- ders ve kaynak kitapları

YÖNTEM : Anlatım , soru-cevap

İŞLENİŞ :

DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ

Toplama işlemi sayı doğrusu üzerinde ileriye doğru saymanın kısa yoldan yapılışıdır.

Örnek:

2 + 52 = 54

Örnek:

213

751

102

+_____

1066

Örnek:

34 + 652 + 103 = 789

Örnek:

4a51

12b0

+_____

5541

Yukarıdaki toplamı işleminde a ve b sayıları için a+b = ?

DERSİN ADI : MATEMATİK

SINIF : 6 -A

SÜRE : 40′ + 40′

KONU : DOĞAL SAYILAR

HEDEF : Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin özelliklerini kavrama

DAVRANIŞ :

Toplama işleminde kapalılık özelliğinin olduğunu söyleme ve yazma

Toplama işleminde değişme özelliğinin olduğunu söyleme ve yazma

Toplama işleminde birleşme özelliğinin olduğunu söyleme ve yazma

Toplama işleminde etkisiz elemanın var olduğunu söyleme ve yazma

ARAÇ GEREÇ :1- ders ve kaynak kitaplardaki alıştırmaların çözülmesi

TEKNİK : Anlatım, soru-cevap

İŞLENİŞ :

DOĞAL SAYILAR KÜMESİNDE TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

Kapalılık Özelliği:

Herhangi iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayı olduğu için, doğal sayılar kümesinde toplama işleminin kapalılık özelliği vardır.

Örnek:

3 ile 87 nin toplamı bir doğal sayımıdır?

Değişme Özelliği:

Toplanan herhangi iki doğal sayının sırasını değiştirip tekrar toplarsak sonuç değişmediğinden, doğal sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

Örnek: ?

4 + 9 = 9 + 4

Birleşme Özelliği:

Her hangi üç doğal sayı toplanırken; ilk ikisi ile üçüncüsünün toplamı, son ikisi ile birincinin toplamına eşit olduğundan, doğal sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

Örnek: ?

( 3+ 12 ) + 24 = 3 + ( 12 + 24 )

Etkisiz Eleman Özelliği:

Her hangi bir doğal sayı ile sıfır toplandığında sonuç ilk doğal sayı olduğundan, doğal sayılarda toplama işleminin etkisiz elemanı vardır ve sıfırdır.

Örnek:

8 + 0 = ?

DEĞERLENDİRME:

6 ile 13 ün toplamı bir doğal sayımıdır?

5 + 8 in yerleri değişerek toplandığında sonuç değişir mi?

24 + ( 41 + 39 ) = ( 24 + 41 ) + 39 olduğunu gösterin.

233 + 0 = ?

DERSİN ADI : MATEMATİK

SINIF : 6 -A

SÜRE : 40′ + 40′

KONU : DOĞAL SAYILAR

HEDEF : Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin özelliklerini kavrama

DAVRANIŞ :

Değişme özelliğinin olduğunu gösterme

Birleşme özelliği olduğunu gösterme

Etkisiz eleman özelliği olduğunu gösterme

Yutan eleman özelliği olduğunu gösterme

Toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği olduğunu gösterme

ARAÇ GEREÇ ers kitabı

TEKNİK : Anlatım, soru-cevap

İŞLENİŞ :

Kapalılık özelliiği

Her hangi iki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayı olduğu için, doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin kapalılık özelliği vardır.

Değişme özelliği

Bir çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmeyeceğinden, Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

Birleşme özelliği

Her hangi üç doğal sayı çarpılırken; ilk ikisinin çarpımı ile üçüncüsünün çarpımı, son ikisinin çarpımı ile ilkinin çarpımına eşit olduğu için, Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

Yutan eleman

Her hangi bir doğal sayı ile sıfırın çarpımı yine sıfır olduğu için Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin yutan elemanı vardır ve sıfırdır.

Etkisiz eleman

Bir doğal sayının bir ile çarpımı bu sayının kendisine eşit olduğundan, doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin etkisiz elemanı birdir.

Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği

a,b,c Î N için

a ( b + c ) = ab + ac

Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır

Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği

a,b,c Î N için

a ( b – c ) = ab – ac

Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır

DEĞERLENDİRME:

3 ile 5 in çarpımı bir doğal sayımıdır?

6 . 8 = 8 . 6 mıdır?

2.(5.11) = (2.5)11 midir?

1.0 = ?

5.( 4 – 2 )=? çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanarak yapın

DERSİN ADI : MATEMATİK

SINIF : 6 -A

SÜRE : 40′ + 40′

KONU : DOĞAL SAYILAR

HEDEF : Bölme işlemi ve özelliklerini kavrama

DAVRANIŞ :

Bölme işlemini tanımlama

Bölme işleminin özellikleri

YÖNTEM : Anlatın, soru-cevap

ARAÇ GEREÇ :1- ders ve kaynak kitaplardaki alıştırmaların çözülmesi

İŞLENİŞ :

BÖLME İŞLEMİ

BÖLÜNEN BÖLEN

BÖLÜM

KALAN

Bir doğal sayının 1 e bölünmesi

Bir doğal sayının 1 e bölümü yine kendisidir.

Bölme işleminin özellikleri :

Kapalılık özelliği

İki doğal sayının birbirine bölümü her zaman bir doğal sayı olmayacağından dolayı, doğal sayılar kümesinde bölme işleminin kapalılık özelliği yoktur.

Değişme özelliği

Bölme işleminde değişme özelliği yoktur

Birleşme özelliği

Bölme işleminde birleşme özelliği yoktur

DEĞERLENDİRME :

57 sayısını 3 e bölün

73 sayısını 4 e bölün

92 sayısını 1 e bölün

Asal Sayılar, Obeb-okek

06 Kasım 2007

ASAL SAYILAR

Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1′ den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2′ dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır. Asal sayılar kümesi,

{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … }

dir.

Fermat Teoremi’ ne göre, n asal sayı olmak üzere, 2n – 1 şeklinde yazılabilen sayılar asal sayıdır. Örneğin,

22 – 1, 23 – 1, 25 – 1, 27 – 1, 211 – 1, …

sayıları, asal sayıdır.

Aralarında asal sayılar:

1′ den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara, aralarında asal sayılar adı verilir. Birden fazla sayının aralarında asal olması için, bu sayıların asal sayı olması gerekmez. Asal sayılar, kesinlikle aralarında asal sayılardır. Bununla birlikte, 10 ve 81 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen, aralarında asal sayılardır. Diğer taraftan, 10 ile 8 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen, 2 ortak bölenleri olduğu için, aralarında asal sayılar değildir. Bir sayı aralarında asal iki sayıya bölünebiliyorsa, bu iki sayının çarpımına da bölünür.

Örneğin,• 2, 9

• 10, 81

• 5, 29

• 3, 8

• 2, 10, 35

sayı grupları, ortak tam bölenleri olmadığı için aralarında asal sayılardır.

Asal olmayan sayılara da bileşik sayı adı verilir. Dolayısıyla, bileşik sayıların 1 ve kendisinden başka bölenleri vardır. Örneğin, 10 sayısı bir bileşik sayıdır. Çünkü, 10 sayısının 1 ve kendisinden başka, 2 ile 5 böleni vardır. Buradan, asal olmayan 10 sayısı, birer asal sayı olan 2 sayısı ile 5 sayısının çarpımı olarak yazılabilir. 2 ile 5 sayısına, 10 sayısının asal çarpanı veya böleni denir. Yani, bileşik bir sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir.

Örnek 1:

Aşağıdaki sayı gruplarından hangisi aralarında asaldır?

a) 4, 20 b) 6, 21 c) 27, 36, 39 d) 8, 24, 36 e) 3, 5, 25

Çözüm:

a) 4 ile 20′ nin ortak böleni vardır ve bu da 2 ile 4′ tür.

b) 6 ile 21′ in ortak böleni vardır ve bu da 3′ tür.

c) 27, 36 ve 39′ un ortak böleni vardır ve ortak bölen 3′ tür.

d) 8, 24 ve 36′ nın ortak böleni vardır ve ortak bölen 2 ve 4′ tür.

e) 3, 5 ve 25′ in ortak böleni yoktur. Çünkü, bu üç sayıyı birden bölen 1′ den başka sayı yoktur. Dolayısıyla, bu sayılar aralarında asaldır.

Örnek 2:

2m + 3 ile 7n – 5 sayıları aralarında asal olduğuna göre,

ise, m ve n kaçtır?

Çözüm:

2m + 3 ile 7n – 5 aralarında asal olduklarına göre,

2m + 3 = 5

2m = 5 – 3

2m = 2

m = 1

7n – 5 = 9

7n = 9 + 5

7n = 14

n = 2

bulunur.

Örnek 3:

a, b ve c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, ab ile bc iki basamaklı aralarında asal sayılardır. Buna göre, ab + bc toplamının en küçük değeri kaçtır?

Çözüm:

Toplamın en küçük olması için, sayıları en küçük almalıyız. Buna göre, ab = 21 olurken. bc = 13 olmalıdır. Dolayısıyla,

ab + bc = 21 + 13 = 34

olur.

Örnek 4:

2x + y ile 4 x + y sayıları aralarında asal olduğuna göre,

ise, 3x + 2y toplamı kaçtır?

Çözüm:

2x + y ile 4x + y sayıları aralarında asal olduğuna göre, her ikisinin de ortak böleni olmaması gerektiğinden, eşitliğin sağ tarafı ortak bölenden arındırılmalıdır. Dolayısıyla,

olur ve buradan,

2x + y = 7 … (1)

4x + y = 9 … (2)

yazılır. Bu denklemleri ortak olarak çözelim. Bunun için, (1) nolu denklemi – 1 ile çarpalım ve (1) nolu denklemle (2) nolu denklemi taraf tarafa toplayalım.

- 1 / 2x + y = 7

4x + y = 9

- 2x – y = – 7

4x + y = 9

Son iki denklemin toplamı

2x = 2

x = 1

bulunur ve x = 1 değerini (1) nolu denklemde yerine koyalım

2.1 + y = 7

y = 7 – 2

y = 5

bulunur. Buradan

3x + 2y = 3.1 + 2.5 = 3 +10 = 13

olur.

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

Her bileşik sayı, asal sayıların veya asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu işlemi yapmak için, ilgili sayının sırasıyla en küçük asal sayıdan başlanarak bölünebilmesi araştırılır.

Örnek 1:

124 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

120 = 23 . 31. 51

Örnek 2:

500 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

Çözüm:

500 = 22 . 53

BİR SAYMA SAYISININ TAMSAYI BÖLENLERİ

Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı:

Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere,

A = am . bn . cp

şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı,

( m + 1 ) . ( n + 1 ) . ( p + 1 )

dir. Bu sayıya, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir.

Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı:

Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere,

A = am . bn . cp

şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı,

2 . ( m + 1 ) . ( n + 1 ) . ( p + 1 )

dir. Yani, A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı, pozitif bölenlerinin sayısının 2 katıdır. Bu sayıya, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir.

Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin toplamı:

Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere,

A = am . bn . cp

şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin toplamı,

dir. Bu toplama, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir. Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin toplamı ise, sıfırdır.

Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin çarpımı:

Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere,

A = am . bn . cp

şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin çarpımı,

dir. Üssün, A nın pozitif tamsayı bölenlerinin sayısının yarısı olduğuna dikkat ediniz.

Örnek 1:

120 sayısının

a) Kaç tane pozitif böleni vardır?

b) Kaç tane tamsayı böleni vardır?

c) Pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır?

d) Pozitif bölenlerinin çarpımı kaçtır?

Çözüm:

a) 120 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli

120 = 23 . 31. 51

olduğundan, pozitif bölenlerinin sayısı

( 3 + 1) . ( 1 + 1 ) . ( 1 + 1 ) = 4 . 2 . 2 = 16

dır.

b) 120 sayısının tüm bölenlerinin sayısı, pozitif bölenlerinin sayısının 2 katı olduğuna göre,

2 . 16 = 32

dir.

c) 120 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı

dir.

d) 120 sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı

dir.

Örnek 2:

500 . 5y sayısının asal olmayan 40 tane tamsayı böleni varsa, y kaçtır?

Çözüm:

500 . 5y = 22 . 53 . 5y

= 22 . 53 + y

2 tane asal böleni olduğundan, tüm bölenlerinin sayısı,

40 + 2 = 42

dir. Buradan, pozitif bölenlerinin sayısı, tüm bölenlerinin sayısının yarısı olduğundan,

21 = ( 2 + 1 ) . ( 3 + x + 1 )

21 = 3 . ( 4 + x )

21 = 12 + 3x

3x = 21 – 12

3x = 9

x = 3

olur.

OBEB (ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ)

OBEB, iki veya daha çok sayıyı aynı anda bölebilen en büyük sayıdır. Verilen sayıların OBEB’ ini bulmak için, sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak asal çarpanların en küçük üsleri alınır.

1. Aralarında asal iki sayının OBEB’ i 1′ dir. Yani, a ile b aralarında asal iki sayı ise,

(a, b)OBEB = 1 dir.

2. Aynı zamanda, ikiden çok sayıdaki sayılardan en az iki tanesi aralarında asal ise, bu sayıların OBEB’ i 1′ dir. Yani, a, b, c, d, e sayılarından a ile b aralarında asal ise,

(a, b, c, d, e)OBEB = 1 dir.

3. İki veya daha fazla sayının ortak tam bölenlerinin sayısı, OBEB’ inin bölenlerinin sayısına eşittir.

4. Ardışık iki sayma sayısının OBEB’ i 1′ dir. Yani, a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere,

(a , b)OKEK = 1 dir.

Örnek 1:

18, 30, 42 sayılarının OBEB’ i kaçtır?

Çözüm:

1. Yol:

18, 30 ve 42 sayılarının üçünü birden bölen sayılar 2 ve 3 tür. Dolayısıyla,

(18, 30, 42)OBEB = 2 . 3 = 6 dır.

2. Yol:

18 = 2.32

30 = 2.3.5

42 = 2.3.7

Her üç sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır. Dolayısıyla,

(18, 30, 42)OBEB = 2.3 = 6 dır.

Örnek 2:

100 ile 120 sayılarının OBEB’ i kaçtır?

Çözüm:

1. Yol:

100 ile 120 sayısının ikisini birden bölen sayıları 22 ile 5 dir. Dolayısıyla,

(100, 120)OBEB = 22 . 5 = 4 . 5 = 20 dir.

2. Yol:

100 = 22.52

120 = 23.3.5

Her iki sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır. Dolayısıyla,

(100, 120)OBEB = 22.5 = 20 dir.

Örnek 3:

6, 15 ve 29 sayılarının OBEB’ i kaçtır?

Çözüm:

İkiden çok sayıdaki sayıların en az iki tanesi aralarında asal ise, bu sayıların OBEB’ i 1 olduğundan, verilen sayılardan 6 ile 29 sayısı veya 15 ile 29 sayısı aralarında asal olduğu için

(6, 15, 29)OBEB = 1

dir.

Örnek 4:

100 ile 120 sayılarının ortak tam bölenlerinin sayısı kaçtır?

Çözüm:

(100, 120)OBEB = 22.51 = 20

olduğundan, pozitif bölenlerinin sayısı,

( 2 + 1) . ( 1 + 1 ) = 3 . 2 = 6

bulunur. Buradan, tüm bölenlerin sayısı, pozitif bölenlerin sayısının iki katına eşit olduğundan,

2 . 6 = 12 olur.

Örnek 5:

Boyutları 9 cm, 12 cm, 15 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi, boş yer kalmayacak şekilde en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir?

Çözüm:

Kutu en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden, 9 cm, 12 cm, 15 cm sayılarının OBEB’ i bulunmalıdır. Bu nedenle,

(9, 12, 15)OBEB = 3 tür. Böylece, en büyük boyutlu küpün bir kenarı = 3 cm olur. Bir kenarı 3 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı,

Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 9.12.15/3.3.3 = 3.4.5 = 60

tane olur.

Örnek 6:

Boyutları 24 m ve 60 m olan dikdörtgen şeklindeki bir arsanın çevresine eşit aralıklarla en az sayıda kaç ağaç dikilebilir?

Çözüm:

İki ağacın arasındaki uzaklık, dikdörtgenin boyutlarının OBEB’ i olur. Dolayısıyla,

(24, 60)OBEB = 12

Ağaç Sayısı = Çevre / 12 = 2 . (24 + 60) / 12 = 84 / 6 = 14

dir.

OKEK (ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ)

İki veya daha çok sayının her birine bölünen en küçük sayıdır. Verilen iki veya daha çok sayının OKEK’ ini bulmak için, sayılar asal çarpanlarının kuvvetleri cinsinden yazılır ve ortak asal çarpanlarından üsleri en büyük olanlarla ortak olmayan asal çarpanlarının tümü alınarak çarpılır.

1. Aralarında asal sayıların OKEK’ i, bu sayıların çarpımlarına eşittir. Yani, a ile b sayısı aralarında asal sayılar ise,

(a, b)OKEK = a . b dir.

2. a ve b iki doğal sayı olmak üzere, bu iki doğal sayının OBEB’ i ile OKEK’ inin çarpımı, bu iki doğal sayının çarpımına eşittir. Yani, a ve b doğal sayısı için

a . b = (a, b)OKEK . (a, b)OBEB dir.

3. a, b, c, d sayma sayıları olmak üzere,

(a/c,b/d)OKEK = (a, b)OKEK / (c, d)OBEB dir.

4. a ve b iki doğal sayı olmak üzere,

(a, b)OKEK = x ve (a, b)OBEB = y

ise, a ile b sayılarının toplamının en büyük değeri

x + y dir.

5. Ardışık iki sayma sayısının OKEK’ i bu iki sayının çarpımına eşittir. Yani, a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere,

(a, b)OKEK = a . b dir.

6. a ile b sayma sayıları olmak üzere, a < b ise,

(a, b)OBEB <= a <= b <= (a, b)OKEK dir.

Örnek 1:

18 ile 45 sayılarının OKEK’ ini bulunuz.

Çözüm:

1. Yol:

18 = 2 . 32

45 = 32 . 5

olduğundan, (18, 45)OKEK = 32 . 2 . 5 = 90 olur.

2. Yol:

(18, 45)OKEK = 2 . 32 . 5 = 90 dır.

Örnek 2:

a ve b doğal sayılarının OKEK’ i 48 ve OBEB’ i 8 ve bu sayılardan biri 16 ise, diğer sayı kaçtır?

Çözüm:

a = 16 olsun. (16, b)OKEK = 48 ve (16, b)OBEB = 8 olduğuna göre,

a . b = (a, b)OKEK . (a, b)OBEB

16 . b = 48 . 8

b = 24

bulunur.

Örnek 3:

Herhangi iki doğal sayının OKEK’ i 120 ve OBEB’ i 8 olduğuna göre, bu sayıların toplamı en çok kaç olabilir?

Çözüm:

İki doğal sayının toplamı en çok bu iki sayının OBEB’ ile OKEK’ inin toplamı kadar olabileceğinden,

120 + 8 = 128 dir.

Örnek 4:

Boyutları 2 cm, 4 cm, 6 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi, boş yer kalmayacak şekilde en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir?

Çözüm:

Kutu en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden, 2 cm, 4 cm, 6 cm sayılarının OKEK’ i bulunmalıdır. Bu nedenle,

(2, 4, 6)OKEK = 12 tür. Böylece, en küçük boyutlu küpün bir kenarı = 12 cm olur. Bir kenarı 12 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı,

Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 12.12.12/2.4.6 = 6.3.2 = 36

tane olur.

Örnek 5:

a, b, c asal sayılar olmak üzere,

x = a2 . b3 . c5 ve y = a5 . c2

ise, (x, y)OBEB = ? ve (x, y)OKEK = ? bulunuz.

Çözüm:

(x, y)OBEB = a2 . c2 = (a . c)2

(x, y)OKEK = a5 . b3 . c5 olur.

Örnek 6:

Ayşe toplarını 2′ şer 2′ şer, 4′ er 4′ er, 6′ şar 6′ şar sayarsa, her defasında 1 top artıyor. Ayşe’ nin en az kaç topu vardır?

Çözüm:

Top sayısı = (2, 4, 6)OKEK + 1 = 12 + 1 = 13 tür.

Örnek 7:

2, 3, 4 sayılarına bölündüğünde 1 kalanını veren en büyük 2 basamaklı doğal sayı kaçtır?

Çözüm:

[(2, 3, 4)OKEK] . k + 1 <= 99

24 . k + 1 <= 99

k = 4 olur. Buradan, sayı

24 . 4 + 1 = 96 + 1 = 97

bulunur.

Örnek 8:

İki yangın sireni 5/7, 7/8 saat aralıklarla alarm vermektedirler. Bu iki yangın sireni aynı anda en son Cuma günü sabah 04.00′ de alarm verdiklerine göre, hangi gün saat kaçta tekrar birlikte alarm verirler?

Çözüm:

Yangın sirenleri 5/7, 7/8 sayılarının OKEK’ lerinde aynı anda alarm verirler. Dolayısıyla,

(5/7, 7/8)OKEK = (5, 7)OKEK / (7, 8)OBEB = 35 / 1 = 35 saat

sonra tekrar alarm verirler. O halde, Cumartesi günü saat 15.00′ de tekrar alarm vereceklerdir.

Örnek 9:

Bir a doğal sayısı 5/3, 6 sayılarına bölündüğünde sonuç tamsayı olduğuna göre, bu koşula uyan en küçük a sayısı kaçtır?

Çözüm:

5/3 ile 6′ nın OKEK’ ini bulmalıyız. Bu takdirde,

(5/3, 6)OKEK = (5, 6)OKEK / (3, 1)OBEB = 30 / 1 = 30 olur.

Örnek 10:

OKEK’ i 7 olan a ve b doğal sayılarının toplamlarının en küçük ve en büyük değerlerinin çarpımı kaç olur?Çözüm:

(a, b)OKEK = 7 ve sayıların farklı olmadıkları söylenmediğine göre,

a = 7 ve b = 7

alınabilir. Bu durumda, a ile b’ nin toplamının en büyük değeri

a + b = 7 + 7 = 14 … (1)

olur. Diğer taraftan,

a = 1 ve b = 7 alınırsa, a ile b’ nin toplamının en küçük değeri

a + b = 1 +7 = 8 … (2)

olur. Buradan, (1) ile (2) nin çarpımı

14 . 8 = 112

bulunur.

Sıfır Rakamının Tarihsel Gelişimi

06 Kasım 2007

Sıfır Rakamının Tarihsel Gelişimi

Onluk sistemin bir üstünlüğü, sıfır rakamı için ayrı bir işaretin (sembolün) bulunmasıdır. Sıfır işaretinin, gerektiğinde basamaklara (hanelere) yazılması gerekmektedir. Aksi halde, boş bırakılan basamak (hane) birçok yanlış anlaşılmalara sebep olur. Örneğin : Bugün, rakamla 407 şeklinde yazdığımız, dört yüz yedi sayısını, sıfır işareti kullanmadan, 4.7 veya 4 7 (4 ve 7 nin arası biraz boş bırakılarak) şeklinde göstermek mümkünse de, anlam bakımından birçok karşılıklara sebep olabilir.

Sıfır kavramını (fikrini) ilk olarak, hangi medeniyet içerisinde ve kim tarafından ortaya konulmuş (kullanılmış) olduğunda, kaynaklar hemfikir değildi. Bununla beraber, Eski Hintliler’de, milattan sonra 632 yılından itibaren sıfır için özel bir işaretin kullanılmış olduğunu, zamanımıza kadar intikal eden belgeler göstermektedir.

Eski Hintlilerden kalma kitabelerde (yazıtlarda) görülen, rakam ve işaretler, günümüzde "Hint-Arap sistemi" olarak adlandırılan sisteme göre benzerlik olduğunu, ve nümerik (terkiym) sistemin, o devirde kullanıldığını göstermektedir. Daha sonraki yıllara ait kitabeler, sayılarda, rakamın kendi zat’i değeriyle vaz’i (konum) değeri, (yani sayı içindeki anlam değeri) arasındaki bağıntının bilindiğini, sıfır anlamını veren, "0" gibi bir işaret kullanıldığını da göstermektedir.

Sıfır için, ayrı bir özel işaretin bulunuşu ve basamak fikrinin ustaca kullanılışı, onluk sistemi (decimal), sadece matematiğin değil, ilim dünyasının, en elverişli sistemlerinden biri yapmıştır. Onluk sistemin bu hali için, Fransız matematikçi Pierre Siman Laplace (1749-1827), bu konuda "Dünyanın en faydalı sistemlerinden biridir." demektedir.

ESKİ HİNT MEDENİYETLERİNDE SIFIR

Romalı ve Çinlilerin eksine, Eski Hint alimleri, aritmetik işlemleri, özel bir harf ve işaret belirtmeden, sadece 1 den 9 a kadar olan rakamlardan istifade ederek yazarlardı. Rakamla, hesap yapmanın tek örneği olan, bu pozisyonun tespiti ve yazılması merhalesine ulaşanlar, sadece Eski Hintliler ve Mayalardı.

Kaynaklar; Hindistan’dan, 300 yıl kadar önce, sayı işaretinin, rakam şekline dönüşmeye başladığını belirtmekte. Hintliler, en geç, 6. yüzyıla doğru, belki de biraz daha önceki tarihlerde, aritmetik işlemlerde, sadece 1 den 9 a kadar devam eden dokuz ayrı rakam halinde kaldılar. Böylece, hesap işlerinde, sağdan sola doğru çoğalan (yükselen) rakamlar, ilk olarak ortaya çıktı (görüldü). Bu rakamlar, hemen hemen 622 yılından itibaren Hindistan dışında da tanınmaya başladı. Fırat’ta bir okul müdürü, aynı zamanda da manastır idarecisi olarak çalışan Suriyeli alim Sevarus Sabokht : "Bilinen bütün usullere üstün olan, Hint hesabının, yani dokuz ayrı rakamın (işaretin) maharetli usulünden bahseder" Bu durum, Hint rakamlarının mahzar olduğu ilk taktirdir. S. Sabokht, bu dokuz ayrı rakamlarla, yeni bir usul dahilinde hesap yapabildi.

Ancak; bu dokuz ayrı rakam, bazı sayıları ifade etmeye yeterli gelmiyordu. Çünkü; üç bin yedi yüz elli dört olan bir sayıyı 3754 şeklinde belirtmek mümkündür. Değeri üç yüz sekiz olan bir sayının da, 38 şeklinde meydana çıkmaması için, noksan (boş) kalan onlar basamağına (hanesine) değişik bir işaretlemenin yapılması zorunludur. Noksan (boş) kalan, basamağı (haneyi) işaretleyip, belirtmek için "boşluğu" şekillendirmek, anlamlandırmak zorundaydılar. Noktayı "sunya" veya "sunyabinde" , boşluk veya içi boş yuvarlağı da "kha" kelimesi ile adlandıran Hint alimleri, boş kalan basamağa (haneye), sembol olarak "daire" veya "nokta" şeklinde yeni bir sembol verdiler.

Düşünce tarihin en önemli olaylarından biri sayılan, bu sayı yazısına, son mükemmeliyeti Hintliler’in vermiş olduğu ortaya çıkmaktadır.

O halde, menşe itibariyle, sadece, basamak sistemi içinde, noksan basamağa (haneye) gerekli işaret olarak başvurulan bu sembol, yani bugünkü ifadeyle "sıfır" rakamı, derhal müstakil bir sayı şeklinde, ilk olarak Hint hesabında ortaya çıkmıştır.

Bu sayı işareti, yani "0" (sıfır) veya "." (nokta) anlamındaki işaret, miladın 400. yılında, ilk defa Hint yazılı eserleri içinde görülmeye taşlar. Hint Dünyası’nın, ünlü matematikçi ve astronomu Brahmagupta (598-660) , 632 yılında yazdığı, astronomi konuları ile ilgili Siddhanta adlı eserinde, dokuz ayrı sayı işareti ve sıfır ile birlikte hesap yapmaya dair kaideleri göstermiştir.

TÜRK-İSLAM DÜNYASINDA SIFIR

773 yılında, Kankah isimli Hintli bir astronom, Halife el-Mansur’un (754-775), Bağdat’taki sarayına gelir. Zamanın ünlü İslam alimi İbn’ül Adami, astronomi cetvelleri ile ilgili eserinde, ilim tarihi için önemli olan bu olayı, "İnci Gerdanlık" başlığı altında şöyle açıklar;

"Hicretin 156. (773) yılında, Hintli bir alim elinde bir kitapla, Halife el-Mansur’un huzuruna çıkar. Kardağa’ların Kral Figar adına istinsah ettikleri bir kitabı, Halifeye sunar. El-Mansur, bu eseri, hemen Arapça’ya çevrilmesini ve gezegenlerin hareketleri ile ilgili bir eser yazılmasını emreder… Bu görevi, Muhammed bin İbrahim el-Fezari üzerine alarak ‘Astronomlar Nazarında Büyük Sinhind’ adlı bir eser yazar. Bu eserin etkinliği, halife el-Memun zamanına kadar sürer. Eseri, Muhammed bin Musa el Harezmi, astronomlar için yeniden hazırlar (yazar). Sinhind Metodunu uygulayan astronomlar, eseri çok beğenirler ve konusunun süratle yaygınlaşmasını sağlarlar."

Hintli alimin, beraberinde Bağdat’a getirdiği ve onunla, önce Halife el-Mansur’un ilgisini çektiği kitap, gerçekte Brahmagupta’nın Siddhanta adlı eserinden başka bir eser değildi. Sinhint adıyla Arapçaya çevrilen bu eser, zamanın halife ve alimleri arasında, hemen ilgi görüp süratle yayıldı.

Harezmi tarafından yeniden hazırlanan söz konusu eser, İngiliz tercüman Baht’lı Adelhard tarafından, zamanın ilim dili olan Latinceye tercüme edildi ve Batılı alimlerin istifadesine sunuldu. Bu tercüme kitap; Hint sayılarını açıklayan, Hint hesabını, sayı yazısını, toplama ve çıkarma, ikiye bölme, iki misli artırma, çoğaltma ve bölme ile kesir hesabını öğreten Hesap Sanatına Dair adlı ikinci eserdir.

Bu Latince tercüme eser, önceleri İspanya’ya gelir ve 12. yüzyıl başlarında, Orta Avrupa’ya geçerek yaygınlaşır.

Hint alimleri, daire şeklinde gösterdikleri ve bugünkü ifadeyle "0" (sıfır) olarak adlandırılan kelime için, bir şeyin hiçliği ve boşluğu anlamını ifade eden "sunya" adını vermişlerdir.

İslam alimleri (Araplar) da bu işareti ve anlamını öğrenince; Arapçada boşluk anlamına gelen "es-sıfır" adını vermişlerdir.

Leonardo, es-sıfır kelimesini Latince’ye tercüme ederek Latince metinlerde cephrum şeklinde Latince’leştirdi.

Daha sonraki yıllarda, Avrupa’nın değişik memleketlerinde, değişik yazım (imla) şekilleri kazanmıştır. Bunlardan :

Leonardo’nun eserine istinaden, önce zefero, daha sonra da zero yazım şeklini aldı ( Livra kelimesinin zamanla lira yazım şeklini alması gibi.)

Fransa’da ise; gizli işaret anlamına gelen chiffre şeklinde adlandırılan cephirum kelimesi, chiffer = hesap yapmak şeklini alarak, yaygınlaşmaya devam etti.

Batı’da, İtalyanca aynı anlama gelen, zero kelimesinin kabülü sonucu, bu kelimenin iki ayrı anlamı sebebiyle İngiltere’de cipher ve zero şeklini aldı.

Almanya’da da, ziffer yazım şeklini aldı. 14. yüzyıldan sonraki yıllarda da ziffern yazım şeklinde kullanılmaya başlandı.

Saverus Sabokht, Brahmagupta ve Harezmi isimleri, Arap rakamlarının, Batı’da görülmesinde birbirini takip eden üç isim olarak karşımıza çıkmaktadır.

Batı literatüründe "Arap Rakamları" olarak bilinen, İslam Dünyası rakamlarının, sıfır "0" dahil olmak üzere, on ayrı şeklini Batı’ya ilk defa öğreten, papalık tahtının şair ve matematikçisi Gerbert olmuştur. Gerbert’in etkisi tam sekiz yüz yıl devam etmiştir.

Gerbert, öğrenimini Aurlillac Klisesinde tamamlamıştır. Burada edindiği bilgiler sonucu, birçok matematikçinin dikkatini çekti. Sonuçta da, matematik araştırmalarını hızlandırdı. İstinsah faaliyetlerini çoğalttı. Gerbert, hakkında değişik rivayetler vardır. Bu rivayetler hakkında, geniş bilgi, müsteşrik Sigrid Hunke tarafından hazırlanan İslam’ın Güneşi Avrupa’nın üzerinde eserde bulunmaktadır. Bu rivayetlerden birisi şudur :

Gerbert, sıfır kavramını bilmiyordu. Mesela 1002 sayısında sıfır 0lmayınca, yazılanların anlaşılması mümkün değildi. Gerbert ve öğrencileri, sıfır hakkında, herhangi bir bilgiye sahip olmadıklarından, yapılanların manasını kavrayamadıkları anlaşılmakta. Gerbert, sayı yazısını, Batı Arapları’ndan getirir. Araplardan, İspanya seyahati sırasında öğrendiği sanılmaktadır.

Gençliğinde itibaren, Hindistan’ın bir ucundan öbür ucuna yaptığı bir çok seyahatlerle, Hint dilini ve ilmini tam anlamıyla Öğrenen Gertert’in çağdaşı olan Beyruni’den o sıralarda, Hindistan’da yazılmış harf şekillerinin ve ilk rakam şekillerinin diğer memlekete geçince, değiştiğini öğreniyoruz, Beyrurıi, Araplar’ın, Hintliler’den en elverişli rakamları aldıklarını açıklar. Araplann birbirinden farklılık gösteren iki çeşit , Hint sayı yazısını kullandıklarını, Harezmi de açıklar.

Harezmi tarafından, 830 yılında yazılan eserin ilk kopyaları, Viyana Saray Kütüphanesinde bulunmaktadır. Bu elyazmaları (manüskri), 1143 tarihini taşımaktadır. Salen Manastırı’nda bulunan ikinci bir kopya ise, bugün Heilderburg’ta muhafaza edilmektedir.

Avrupa, ilim dünyasında sunulan bu önemli belge ile, Araplar’ın, önce birler basamağından başlayarak, rakamları sağdan sola doğru yazıp okuduklarını, bu eserden öğrenir. Harezmi’ye ait bu eserde; toplama ve çıkarma işlemlerine ait örnekler görülmektedir.

Latince tercümesinde, bugünkü yazım şekline göre, "0" (sıfır) a ait bir örnek Şöyledir :

38-18=20

"Sekiz diğer sekizden çıkınca, geriye bir şey kalmaz. Bu takdirde, boş kalmaması için, bir dairecik koy. Dairecik, boş hanenin yerine geçmek zorundadır. Eğer bu hane boş kalırsa, diğer haneleri de tahdit edilmiş olurlar. Artık ikinci hane, birinci hanenin yerini tutar. Yani; ikinci hane, birinci haneden başka bir şey değildir."

Bugünkü bilgilerimize göre basit gibi görünen, ancak zamanın matematik görüşü olarak son derece önemli olan bu açıklamanın böyle olması düşünüldüğünde, Harezmi’nin görüşü olan açıklamanın önemi kendiliğinden ortaya çıkar. Şöyle ki; sıfır, ilk basamağın aksine, sola konsaydı, "02" gibi bir sayı elde edilir ki, ikinin solundaki sıfır sonucu değiştirdiğinden, Harezmi’nin matematik görüşünün zamanı matematik bilgileri karşısındaki önemi açık olarak ortaya çıkar.

Brahmagupta’nın ,Siddahta adlı eseri, 776 yılında, Saverus’tan 114 yıl sonra, Arapça’ya çevrilen bir eserinin içinde yer almıştır. Gerbert’ten yüz yıl sonra, Harezmi’nin Latince tercümesi, Orta İspanya yoluyla Batı’ya ulaşır.

Bu tarihlerde, "Arap Sayı Yazısının", ilim dünyasındaki zaferine çığır açan başka bir şahıs ile karşılaşıyoruz.

Pizza’lı Leonardo (1180~ ?) ; matematik bilgisinin, esaslarını bizzat, ilk kaynaklarından, yani Mısır’a yaptığı uzun süreli seyahatler sonucu elde etmiştir. Elde ettiği bilgileri de, Batı’ya öğretmiştir. Leonardo’nun babası, Cezayir sahillerinde ticaret işleri ile meşgul idi. İslam medeniyetinin etkinliğini gören, baba Leonardo, oğlunu yetiştirmek için yanına çağırır. Oğlu Leonardo Hint, yani Arap (İslam) rakamları ile hesap yapmaya hayran kalır. Hint hesap sistemlerinin, her türlü uygulamasını öğrenir. Bu arada, İskenderiye ve Şam kütüphanelerinde, eline geçirebildiği ilmi değeri olan eserleri de toplayıp, Avrupa’ya götürdüğü tarihi bir gerçek olarak bilinmektedir.

Oğul Leonardo, İslam (Arap) hesap öğretmenlerinden, öğrendiği bütün bilgileri sıfır rakamı dahil olmak üzere, çevresindekilere, uygulamaları ile birlikte öğretir

Bu rakamlar, Arapçada "sıfır" adı verilen "." işareti ile her türlü hesabın yapılabildiğini açıklar.

Matematikte; bugün Türkçe’mizde gösterim şekli olan, "0" (sıfır), Arapça’da gösterim şekli olan "." (sıfır) sembolü ile, Türkçe yazım §ekli olan "sıfırı" ve aynı anlama gelen, diğer Batı dillerinde kullanılan ve "rakam" ve "yazım" şekillerinin tarihi gelişimleri, ayrıntılı olarak incelemeye değer bir konudur.

SIFIRIN TARİHİ KRONOLOJİSİ

M.Ö. 3000 yılları : Eski Mısırlılar, onluk sistemi bilmediklerinden, sıfır anlamını ifade eden bir sembol (işaret) kullanmamışlardır.

M.Ö. 700-500 yılları : Mezopotamyalılar, sadece astronomi metinlerinde, sıfır anlamına gelecek, özel bir işareti sürekli olarak kullanmışlardır.

M.S. 2. yüzyıl : Eski Yunan’da, Batlamyos’un astronomi metinlerinde, Yunan alfabesinde görülen, içi boş anlamını ifade eden "0" şeklinde bir harf kullanmışlardır. Ancak, matematiklerinde, bu harfi (işareti) kullanmadıklarını, kaynaklar açık olarak belirtmektedir.

M.S. 400 yılları : Eski Hint Dünyasında, ilk defa, bugünkü ifadeyle sıfır anlamına gelen, "0" ve "." şeklinde işaret (sembol) görülmeye başlamıştır.

M.S. 632 : Eski Hint alimi Brahmagupta’nın astronomi ile ilgili olan Siddhanta adlı eserinde, dokuz ayrı ve sıfır rakamı ile hesap yapmayı gösteren kaideler belirtilmiştir.

M.S. 830 : İslam Dünyasının önde gelen matematik alimi Harezmi tarafından, dokuz ayrı rakam dahil sıfır rakamı ile birlikte aritmetik işlemlerin nasıl yapılacağı açık olarak gösterilmiştir.

M.S. 1100 yılları : Avrupa matematik dünyasında, yaygın olarak kullanılmaya başlar.

Noktanın Analitik İncelenmesi

06 Kasım 2007

Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da adlandırılır.

Dik koordinat sistemi

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

P(x, y) noktası için, x noktanın apsisi, y de ordinatıdır. Apsis ve ordinat değerleri eksenlere çizilen dik doğruların eksenleri kestiği noktalardır

Orijinin koordinatları O(0,0) dır.

x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır. A(a, o) noktası gibi. y ekseni üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır. B(o, b) noktası gibi.

Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayırırlar.

I. Bölge: x > 0

y > 0

II. Bölge: x < 0

y > 0

III. Bölge: x < 0

y < 0

IV. Bölge: x > 0

y < 0

İntegral Soruları Artık Çok Kolay…

06 Kasım 2007

arkdaşlar bu site benim çok işime yaradı her türlü integral sorusunu çözdüm integral sorusunu boşluğa yazıp compute diyorsunuz çözümünü veriyor

SİTEYE GİRMEK İÇİN burayaTIKLAYINIZ

Üçgenlerde Benzerlik

06 Kasım 2007

ÜÇGENLERDE BENZERLİK

1. Benzer Üçgenler Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir. ABC ve DEF üçgenleri için; oranı yazılır Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve ABC ~ DEF biçiminde gösterilir. eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik katsayısı denir. • k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir. ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.

2. Açı – Açı Benzerlik Teoremi Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir. şekilde verilen üçgenlerde İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir. m(C)=m(F)

3. Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Teoremi İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir. ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir. BAC açısının kısa kenarının EDF açısının kısa kenarına oranı, BAC açısının uzun kenarının EDF açısının uzun kenarına oranına eşittir.

4. Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Teoremi İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir. Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir. m(A) = m(D), m(B) = m(E), m(C) = m(F)

5. Temel Benzerlik Teoremi ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş açılar eş olacağından ADE ~ ABC dir. • Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC] |AK|=2|KB| |AL|=2|LC|

6. Tales Teoremi Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda bölerler. d1 // d2 // d3 doğruları için Buradan de elde edilir ÜÇGENLERDE BENZERLİK 1. Benzer Üçgenler Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir. ABC ve DEF üçgenleri için; oranı yazılır Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve ABC ~ DEF biçiminde gösterilir. eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik katsayısı denir. • k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir. ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir. 2. Açı – Açı Benzerlik Teoremi Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir. şekilde verilen üçgenlerde İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir. m(C)=m(F) 3. Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Teoremi İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir. ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir. BAC açısının kısa kenarının EDF açısının kısa kenarına oranı, BAC açısının uzun kenarının EDF açısının uzun kenarına oranına eşittir. 4. Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Teoremi İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir. Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir. m(A) = m(D), m(B) = m(E), m(C) = m(F) 5. Temel Benzerlik Teoremi ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş açılar eş olacağından ADE ~ ABC dir. • Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC] |AK|=2|KB| |AL|=2|LC| 6. Tales Teoremi Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda bölerler. d1 // d2 // d3 doğruları için Buradan de elde edilir


Destekliyoruz arkada - arkadas - partner - partner - arkada - proxy - yemek tarifi - powermta - powermta administrator - Proxy