Elektroensefalogram (Eeg) Zaman Dizisinin
Times New Roman 12 pt, bold
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image001.gif[/IMG] Times New Roman 14 pt, bold
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif[/IMG]ELEKTROENSEFALOGRAM (EEG) ZAMAN DÄ°ZÄ°SÄ°NÄ°N [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image003.gif[/IMG]Ä°LÄ°NTÄ° BOYUTU Correlation Dimension of Electroencephalogram (EEG) Time Series
Times New Roman 10 pt, bold
Ersin TAŞKIN*, Halil Özcan GÜLÇÜR*ve Yağmur DENİZHAN**
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif[/IMG]
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif[/IMG]*Boğaziçi Üniversitesi, Biyo-Medikal Müh. Enstitüsü, 80815 Bebek-İstanbul. e-posta: gulcur@boun.edu.tr. **Boğaziçi Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü, 80815 Bebek-İstanbul.
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif[/IMG]
Buraya “continuous section break” koyunuz
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image007.gif[/IMG]
Özetçe - Bu makalede, insan elektroensefalogramının (EEG) ilinti boyutunun (D2) hesaplanmasında kullanılmak üzere geliÅŸtirilen bir yazılım sunulmaktadır. D2 hesaplanmasında kullanılan ana algoritma Grassberger Procaccia (G-P) savına dayanmaktadır. Program hızını kesinlikten ödün vermeden arttırmak için karmaşık algoritmalar uygulanmıştır. Söz konusu yazılım Windows 95 iÅŸletim sisteminde ve Delphi 2.0 ortamında geliÅŸtirilmiÅŸtir. Bu nedenle yazılım günümüzün 32 bit ortamlarının doÄŸal bir parçası olarak çalışmakta olup, 32 bit özelliÄŸinin getirdiÄŸi güçten tam olarak yararlanmaktadır ve bunun sonucu olarak kullanıcıyla dost bir kullanıcı arabirimi sunmaktadır. GeliÅŸtirilen yazılım iki iÅŸaret kümesi için D2 hesaplanmasında kullanılmıştır: 1) D2’si bilinen iÅŸaretler -sinüs, Henon haritası, beyaz gürültü ve 2) D2’nin deneysel olarak hesaplanılması gereken, çeÅŸitli deney koÅŸullarında ve çeÅŸitli denek kümelerinden kaydedilen EEG iÅŸaretleri. Söz konusu iÅŸaretler ışık sürümlü deneklerin kararlı durum yanıtlarını, alfa bandı ağırlıklı iÅŸaretlerini, saÄŸlıklı bireylerden ve düşük düzey sara vakalarından alınan beta bandı ağırlıklı iÅŸaretlerini içermektedir. Sayısal sonuçlar incelenmiÅŸ ve yazındaki örnekleriyle karşılaÅŸtırılmıştır.
Anahtar Sözcükler: EEG, ilinti boyutu, epilepsi
Times New Roman 8 pt, bold
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif[/IMG]
Abstract - In this thesis, a software package, to be used in correlation dimension (D2) computation of human electroencephalograms (EEG), is developed. The main algorithm calculating the D2 is based on the Grassberger Procaccia (G-P) theorem. Rigorous algorithms are developed to speed up the process without a loss in accuracy. The software package is developed under Windows 95 in Delphi 2.0 environment, which enables the program to be a natural part of the contemporary 32 bit environments, and provides the user with a user friendly graphical user interface. The software developed is applied to two groups of signals. 1) Signals, whose D2’s are known a priori- a sinusoidal, a Henon map, and a segment of white noise. 2) EEG samples recorded (whose D2’s have to be calculated from experimental measurements) under various experimental conditions, from various groups of individuals, which comprise steady state responses of flash driven subjects, alpha dominant waves, beta dominant waves, and beta dominant waves from subjects having minor epilepsy. The numerical results obtained are analyzed, and compared with those in literature.
Keywords: EEG, correlation dimension, epilepsy
Başlıklar: Times New Roman 12 pt, small caps
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image009.gif[/IMG]
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif[/IMG]I[HOG1] . GiriÅŸ [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image011.gif[/IMG] 2,5cm
0,5cm
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image012.gif[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image013.gif[/IMG]DoÄŸrusal olmayan sistem biliminde son yıllarda yaÅŸanan geliÅŸmeler, yeni araÅŸtırma alanlarının doÄŸmasını saÄŸlayan yeni yöntemler getirmiÅŸtir. Bunun sonucu olarak da, önceden olasılıksal yaklaşımların uygulandığı bazı dizgeler (sistemler) gerekirciler kümesinde incelenebilmektedir. Kaotik (gelecek durumu öngörülemeyen) dizgelerin aslında bir kaç özgürlük derecesine sahip olabileceÄŸi matematiksel olarak kanıtlanmıştır. 1963’te Lorenz doÄŸrusal olmayan dinamik dizgeleri atmosferdeki türbülansı açıklamada kullandı (Navier Stokes denklemi) ve sonsuz boyutlu bir dizgede, öngörülemez ya da kaotik davranışın üç boyutlu bir dinamik dizgeden kaynaklanabileceÄŸini gösterdi. Bu öngörülemezliÄŸe baÅŸlangıç koÅŸullarına hassas baÄŸlılık denildi. Buna göre, ölçümle dizgenin gerçek durumu arasındaki çok ufak bir farklılık zamanla üstel olarak artıp, bir süre sonra büyük farklara dönüşmekte ve gerçek durum ile ölçüme göre olması gereken durum birbirinden tamamen farklı olmaktadır. Sürtünmeli kaotik dizgeler her ne kadar öngörülemezler ise de, uzun vadeli davranışları belirli bir ÅŸekil oluÅŸturur. Bu ÅŸekil dizgenin zaman evrimini durum uzayında çizdiÄŸimizde belirginleÅŸir. Durum-uzayında dizgenin yörüngeleri sonlu boyutta bir bölgede kümelenirler. Bu kümeye garip çeker denir (çekerler, ve garip çekerler için bkz. Bölüm II). Garip çekerlerin bazı deÄŸiÅŸmez ölçüleri vardır ve bu ölçüler dizgenin dinamiÄŸi ile ilgili bilgi içerirler. Ortak bilgi, özilinti, Kolmogorov entropileri, Lyapounov üsleri, “çeker boyutu”, v.b. bu ölçülere birer örnektir. Dolayısıyla, kaotik dizgeler öngörülmezliklerine raÄŸmen incelenebilirler.
Lorenz’den sonra BaÅŸar [1], ve BaÅŸar ve Röschke [2] elektroensefalogramın (EEG) bir garip çeker gibi davrandığını gösterdiler. Bu çalışmadan sonra insan EEG’ının incelenmesinde doÄŸrusal olmayan dinamik modellerin kullanılması yaygın bir uygulama haline geldi. Babloyantz ve arkadaÅŸlarının [3] ünlü çalışmasından sonra bazı araÅŸtırmacılar Grassberger - Procaccia algoritmasını [4] kullanarak insan EEG’ının ilinti boyutunu hesapladılar ve bu hesapları çalışmalarında kullandılar. Bu makalede böyle bir çalışmada yararlanılacak bir yazılımın tanıtılmaktadır.
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image014.gif[/IMG]
II. Dinamik Dizgeler Bir n.dereceden sürekli zaman dinamik dizge aşağıda verilen denklemle tanımlanır.
dx/dt = f(x), x(t0) = x0 (1) [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image015.gif[/IMG]
Burada x(t)[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image017.gif[/IMG] Ân, t anındaki durumu, f: Ân [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image019.gif[/IMG]Ân ise vektör alanını belirtmektedir. Ä°lk koÅŸul x0 iken (1)’in çözümüne yörünge denir ve [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image021.gif[/IMG]t(x0) olarak gösterilir. [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image021.gif[/IMG]t : Ân [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image019.gif[/IMG]Ân eÅŸlemesine dizgenin akışı denir.
Ayrık zamanlı dinamik dizgelerde, dizge denklemi aşağıdaki gibidir.
xk+1 = f(xk), k = 0,1,2, … (2) Yukarıdaki denklemde xk[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image017.gif[/IMG] Ân’e durum denir ve f(.) xk durumunu bir sonraki durum olan xk+1’e eÅŸler. Bir x0 ilk koÅŸulu ile baÅŸlayıp eÅŸlemenin tekrar uygulanmasıyla bir dizi durum noktaları ([IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image023.gif[/IMG]) elde edilir. Bu diziye dinamik dizgenin yörüngesi denir.
III. Kararlı Durum Davranışı ve Sınır Kümeleri
Kararlı durum davranışı, t[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif[/IMG] iken dizgenin asimptotik davranışıdır. Kararlı durumun sınırlı olması gerekmektedir. EÄŸer y noktasının her U komÅŸuluÄŸu için [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image021.gif[/IMG]t (x), t [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif[/IMG] iken, U’ya tekrar, tekrar giriyorsa, y noktası x noktasının bir sınır noktasıdır. x’in bütün sınır noktalarını içeren kümeye x’in sınır kümesi, L(x)denir. Sınır kümeleri [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image021.gif[/IMG]t altında kapalı ve deÄŸiÅŸmezdir. EÄŸer L’nin her x[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image017.gif[/IMG]U için L(x) = L eÅŸitliÄŸini saÄŸlayan bir U açık komÅŸuluÄŸu varsa L çeken bir sınır kümesidir. Çeken sınır kümeleri ile özellikle ilgilenilir, çünkü çekmeyen sınır kümeleri fiziksel dizgelerde gözlemle-nemezler. Korunumlu dizgelerde sınır kümesi bütün durum uzayını kaplarken, sürtünmeli dizgelerde hacmi sonlu bir bölgeye sıkışır. Dinamik dizgelerle yapılan fiziksel deneylerde ve bilgisayarla benzetim çalışmalarında baÅŸlangıçta varolan geçici bir davranıştan sonra görülen kararlı durum davranışı bir çeken sınır kümesi üzerinde (ya da yakınında) bulunur. Uygulamada ise çeker adı verilen daha küçük kümeler gözlemlenir. Bunu nedeni, çeker kümenin bir kısmının söz konusu deney ya da benzetim süresince çekmemesidir. Bu makalenin baÄŸlamında, çekerler için matematiksel bir tanım yerine uygulamaya yönelik bir tanım verilecektir. Buna göre çekerler uzun dönemde deney noktalarının ([IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image021.gif[/IMG]t(x)) toplandığı kümelerdir. Çekerler tanım gereÄŸi dinamik bir evrim altında deÄŸiÅŸmezdirler. Son bir kaç on yıla kadar mühendisliÄŸin ilgi alanına giren dizgelerin çekerleri bir denge noktası örneÄŸinde olduÄŸu gibi bir nokta, dönemli bir karalı durumda olduÄŸu gibi bir çember, ya da n temel sıklıklı bir yarı-dönemli çözümde olduÄŸu gibi bir n-simit olabilir. Kaotik bir dizgede ise çeker yukarıdakiler gibi bir Öklid Geometrisi nesnesi olmaz. DeÄŸiÅŸik ölçeklerde kendini yineleyen çok ince ve ayrıntılı bir yapısı vardır. Bu yapıya fraktal denir. Söz konusu çekerlere ise garip çeker adı verilir.
IV. Ä°linti Boyutu Bir dinamik dizgenin deÄŸiÅŸmez ölçütlerinden biri de çekerinin boyutudur. Dolayısıyla dizgeler çekerlerinin boyutlarına göre sınıflandırılabilirler. Dahası kaotik dizgelerde çekerin boyutuna bakarak dizge ile ilgili deÄŸerli bilgiler edinilebilir. Bir çeker, eÄŸer her noktasının çok küçük komÅŸuluÄŸunda Ân’in bir açık altkümesi gibi davranıyorsa (Ân’in bir açık altkümesine diffeomorfik[1] ise), n boyutludur. Bu türevsel topolojide bir manifoldun boyutunun tanımıdır. ÖrneÄŸin, bir sınır çevrimi tek boyutludur, çünkü her noktasının komÅŸuluÄŸunda bir aralığa benzer. Bir 2-simit, iki boyutludur çünkü her noktasının komÅŸuluÄŸunda bir düzlem parçasını andırır. Öte yandan bir garip çekerin her noktasının komÅŸuluÄŸunun ayrıntılı bir yapısı vardır ve hiçbir Öklid uzayına benzemez. Garip çekerler manifold deÄŸildirler ve boyutları tamsayı deÄŸildir. Kesirli boyuta iliÅŸkin birkaç genelleme bulunmaktadır. Bunlar sırasıyla kapasite boyutu (fraktal boyut olarak da bilinir), bilgi boyutu ve ilinti boyutudur. Bu boyutları hesaplamaya yönelik bir çok algoritma geliÅŸtirilmiÅŸtir. Bu algoritmaların geliÅŸtirilmesi ve ilgili gürültü azaltması yöntemlerinin geliÅŸtirilmesi doÄŸrusal olmayan bilimde hala açık bir araÅŸtırma alanıdır. Hesaplama kolaylığı açısından bu çalışmada ilinti boyutu (D2) kullanılmıştır. D2’nun tanımı aÅŸağıdaki gibidir.
D2 := [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image027.gif[/IMG] (6)
Yukarıdaki tanımda paydada görülen C([IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image029.gif[/IMG])’ye ilinti tümlevi denir ve aÅŸağıdaki gibi tanımlanır.
C([IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image029.gif[/IMG]) :=[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image031.gif[/IMG]{ |xi - xj | <[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image029.gif[/IMG] eşitsizliğini sağlayan (xi, xj) ikililerinin sayısı} (7)
D2 kolaylıkla hesaplanabilir çünkü C([IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image029.gif[/IMG]) kolaylıkla hesapla-nabilir.
VI. Çekerin Çizimi
Doğrusal olmayan dinamik dizgeler kuramındaki son gelişmeler söz konusu dizgelerden elde edilen zaman serilerinin incelenmesinde kullanılmak üzere bir takım yöntemler sunmuştur. Bu tür karmaşık dizgelerin incelenmesi, dizgenin uygun ve kolaylıkla erişilebilir bir değişkeninin zaman eksenindeki ölçümlerinin kaydedil-mesine dayanır. Çoğu durumda bu değişkenler dizgenin ortalama ya da genel bir özelliğini belirtirler. Örneğin, bir memelinin korteksindeki elektriksel gerilimlerin belirli zaman aralıklarıyla kaydedilmesiyle bir zaman dizisi elde edilebilir. Her ne kadar söz konusu veri, beyinle ilgili tek boyutlu bilgi içeriyormuş gibi görünse de, durum pek de öyle değildir. Böyle bir zaman dizisinin dizgenin bir çok değişkenine ilişkin bilgi içerdiği matematiksel olarak gösterilebilir. Dolayısıyla, EEG zaman serisinin incelen-mesiyle beynin garip çekeri çizilebilir ve ilinti boyutu hesaplanabilir.
Beyin elektriksel etkinliÄŸinin dinamiklerinin {x0(t), x1(t), …., xm-1(t)} veri kümesi tarafından belirlendiÄŸini varsayalım. Deneysel veriden elde edilen bir x0 deÄŸiÅŸkenine ait n-ninci dereceden bir türevsel denklem, dizgeyi tanımlama açısından yukarıdaki özgün kümeye eÅŸdeÄŸerdir. Hem x0 hem de türevleri, yani m tane deÄŸiÅŸkenden oluÅŸan bir vektör tek bir zaman dizisinden elde edilebilir. Öte yandan hesaplama açısından {x0(t), x0(t+[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG]),… x0(t+(m-1)[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG])}, vektörünü oluÅŸturmak daha uygun olur. Bu yeni vektör topolojik olarak ilk vektöre eÅŸdeÄŸerdir. Bu örnekte x0 EEG kayıtlarındaki elektriksel gerilime (V) karşılık gelebilir.
Eğer dinamikler gerekirci kurallarla belirtilebilirse, söz konusu vektörler durum uzayında sonlu bir bölgeyi kaplarlar. Böylece zaman uzayında dizgenin portresi - uzay zamanın bir altkümesine izdüşümü- çizilebilir. Bu portre dizgenin çekeridir. Daha sonra bu çekerin ilinti boyutu hesaplanabilir.
VII. İlinti Boyutunun Hesaplanması
İçerme boyutunun belirlenmesi
Yukarıda m’e içerme boyutu ve [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG]’ya da (zaman) gecikme(si) denir. Takens ve Mane 2-dA (gerçek boyutun iki katı)’dan daha büyük bir içerme boyutlu (d) durum uzayında gecikme konaçlarıyla oluÅŸturulan çekerin, gerçek çekerin topolojik olarak tam düzgün bir temsili olduÄŸunu göstermiÅŸlerdir. Savları, d yeterince büyük seçilirse, zaman serisinden gecikme konaçlarıyla elde edilen çeker ile gerçek çekerin fiziksel özelliklerinin aynı olacağını söyler. Yeterince büyük d deÄŸerini bulma iÅŸlemine içerme denir. Yukarıdaki özelliÄŸi saplayan en küçük boyuta içerme boyutu (dE) denir ve her d ³ dE gerekli içermeyi saÄŸlar.
Yazında, içerme boyutunun bulunmasına iliÅŸkin birçok yöntem vardır. Bunlardan baÅŸlıcaları yanlış enyakın komÅŸular (YEK) [5] ve tekil deÄŸer ayrışımı (TDA) [6] olmakla birlikte, - çok büyük veri kümeleri söz konusu olmadığında- uygulamada kullanılan yöntem kestirilen bir dE deÄŸerinden baÅŸlayıp dizge deÄŸiÅŸmezleri sabit kalıncaya kadar dE’yi arttırmaktır.
Zaman gecikmelerinin seçilmesi
Taken savı gürültüsüz ve sonsuz veri durumu içindir ve her [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG] değeri uygulanabilir. Ancak uygulamada bu duruma hiç bir zaman rastlanmaz. Küçük bir [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG] gecikmesi oluşturulan konaçlar arasında küçük bir bilgi kazancına ve dolayısıyla çekerin ana köşegen üzerine yığılmasına yol açar. Buna fazladanlık denir. Kaotik dizgelerde çok büyük bir[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG], söz konusu konaçların birbiriyle ilgisiz olmasına yol açar. Casdagli ve arkadaşları [7] bu duruma ilişkisizlik adını vermiştir.
Yazındaki çalışmalar gecikme ([IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG]) yerine oluşturma penceresinin ([IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG]w), sabitlenmesinin daha doğru olduğunu göstermektedir. Burada [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG]w oluşturulan vektörlerdeki birinci ve sonuncu konaçlar arasındaki uzunluğu vermektedir:
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG]w = [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG](m-1) (9) ÖrneÄŸin, Martinerie ve arkadaÅŸları [8] ilinti tümlevinin ayrı ayrı [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG]’ya ve m’ye deÄŸil sadece [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG]w’e karşı hassaslık gösterdiÄŸini belirtmektedir.
Gecikme değerlerinin belirlenmesine ilişkin oturmuş bir matematiksel temel bulunmamaktadır. Var olan yöntemlerin hepsinin getirilerinin yanı sıra önemli götürüleri de bulunmaktadır.
Ortalama tepeler arası uzaklık
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG]’nun bulunmasıyla ilgili en yalın ve hızlı yöntem [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG]w’ni ortalama tepeler arası uzaklığa eÅŸitlemektir. Söz konusu yöntem bu çalışmada geliÅŸtirilmiÅŸ olup her zaman doÄŸru [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG]deÄŸerini vermemektedir. Ancak hızlı ve basit uygulamalarda bir kestirimde bulunmak için iyi bir yöntem olduÄŸu çeÅŸitli deneyimlerle gösterilmiÅŸtir. Bu yaklaşımın geçerliliÄŸini göstermek için derin bir matematiksel çalışma gerekmektedir. Basit olarak, aÅŸağı yukarı ortalama tepeler arası uzaklıkta bulunan noktalar fazladan olamayacak kadar uzak, iliÅŸkisiz olamayacak kadar da yakındırlar.
Doğrusal özilinti
İkinci kolay ve hızlı yöntem ise zaman serisinin doğrusal özilinti işlevini
CL([IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG]) = [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gif[/IMG] (10) [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image038.gif[/IMG] (11)
hesaplamayı içerir. CL([IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG])’nun sıfırı geçtiÄŸi ilk [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG]deÄŸeri iyi bir adaydır. Ancak bu yöntem konaçlar arasındaki doÄŸrusal iliÅŸkiyi belirtir. Bu konaçların doÄŸrusal olmayan iliÅŸkileriyle ilgili bir bilgi içermez [9].
Ortak bilgi
Konaçlar arasındaki doÄŸrusal iliÅŸkiye dair bilgi sunan özilinti iÅŸlevine zıt olarak ortak bilgi iÅŸlevi (I([IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG])) konaçlar arasında daha genel baÄŸlılığa iliÅŸkin bilgi içerir. Ortak bilgi, x(n) ölçümü yapıldıktan sonra x(n+[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG])’i ne kadar kesin kestirebileceÄŸimiz sorusunu yanıtlar. Dolayısıyla, ortak bilginin düşük olduÄŸu durumlarda ardışık konaçlar göreli olarak bağımsız yorumlanabilirler. I([IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG]) ne kadar düşükse konaçlar o kadar bağımsızdırlar. Ä°lk enküçük iyi bir [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG] seçimi olarak kabul edilmektedir (Fraser and Swinney özgün olarak bu yöntemi [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG] deÄŸerinin belirlenmesi için kullanmışlardır. Daha sonra Martinerie ve arkadaÅŸları [8] bu sonuçlarının [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif[/IMG]w’nin deÄŸerinin belirlenmesinde kullanılması gerektiÄŸini göstermiÅŸlerdir).
EEG uygulamaları için öneriler
Veri uzunluÄŸu. Ä°yi bir EEG D2 hesaplaması için tipik olarak bir kaç yüz bin nokta gerekir. Ancak bu her zaman, özellikle beyin dinamiklerinin uzun süre (aynı çeker üzerinde) duraÄŸan kalmadığı durumlarda, olası deÄŸildir. Ä°ncelenen olgunun dinamikleri kısa süreli ve göreceli olarak düşük boyutlu ise D2, birkaç bin nokta ile de hesaplanabilir. Kısa zaman serileri D2’nin gerçek deÄŸerinden önemli bir biçimde daha az kestirilmesine yol açar. Bu konuda yapılabilecek en yalın uygulama veri uzunluÄŸunda küçük bir artışın D2 deÄŸerini deÄŸiÅŸtirmediÄŸi uzunlukta veri kullanılmasıdır. Bu arada veri uzunluÄŸu arttırılırken, olayın duraÄŸanlığının dışına çıkılmaması gerekir. Bu çalışmada kullanılan EEG örneklerinin uzunluÄŸu 20 saniye (5100 nokta, 256Hz örnekleme sıklığı) ile 2 saniye (512 nokta, 256 Hz) arasında deÄŸiÅŸmektedir.
Örnekleme sıklığı. Genelde veri uzunluğunun yetersizliğinden kaçınmak için örnekleme sıklığının arttırılması bir çözüm değildir. Her ne kadar bu nokta sayısını arttırsa da ardışık noktalar arsındaki bilgi kazancı azalmaktadır. Dolayısıyla, örnekleme sıklığının artmasıyla noktalar birbirlerine yaklaşmaya başlar. Bunun durum uzayındaki yansıması yörüngenin daha yavaş hareket etmesi ve çekerin genel yapısıyla ilgili daha fazla bilgi getirmemesidir. Dahası, sınırlı ölçüm kesinliği ve gürültünün varlığı nedeniyle uygulamada, birbirine çok yakın noktalar için kuramsal olarak elde edilebilecek bilgi pek az bir katkı sağlamaktadır ve ardışık noktalar aynı değere sahip gibi ölçülmektedir. Hesaplama zamanı N´(N-1) (N nokta sayısı olmak üzere) ile doğru orantılı arttığından, aşırı örneklemeden kaçınılmalıdır. Bütün bunlar örnekleme sıklığına bir üst sınır getirmektedir.
Veri uzunluÄŸu yeterli ise örnekleme sıklığı Nyquist kuralı gereÄŸince, örtüşmeye yol açmayacak kadar yüksek seçilmelidir. Buna göre, örnekleme sıklığı zaman dizisinin sıklık bandının üst sınırının iki katından daha yüksek olmalıdır. Bu örnekleme sıklığına bir alt sınır getirmektedir. Genelde EEG verileri 100 Hz’in altında bir aralıkta yer aldığından 200 Hz civarı örnekleme sıklıkları uygulanmaktadır. Bu çalışmada 256 Hz kullanılmıştır.
Sayısal süzgeçleme. Lo ve Principe [10] sayısal süzgeçlemenin boyut hesaplamalarını etkilediğini bulmuşlardır. Çalışmalarına göre daha düşük bir köşe sıklığında süzgeçlenen EEG parçaları için D2 daha düşük hesaplanmıştır. Bunu yüksek sıklıklı beyaz ya da beyaza yakın gürültünün çıkarılmış olmasına bağlamaktadırlar.
Analog-sayısal (A/S) çevirici kesinliÄŸi. Theiler [11], herhangi bir derece sayısallaÅŸtırmanın sonlu bir çözünürlük düzeyi getireceÄŸini, bunu da oluÅŸturulan noktaların arasındaki uzaklıkların söz konusu sayısallaÅŸtırma düzeyinin bir tam katı olacağını belirtmektedir. Bunun sonucunda log[C(r)] - log(r) grafiÄŸinde küçük r deÄŸerlerinde basamaklaÅŸmanın görülmesidir [11]. Pritchard ve Duke önemli bir deneyde 8 bitlik bir sayısallaÅŸtırma kesinliÄŸinin (1[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image040.gif[/IMG]V’luk bir çözünürlük düzeyine karşılık gelmektedir) yeterli olduÄŸunu belirtmektedir [12]. Bu çalışmada 12 bitlik bir sayısallaÅŸtırma uygulanmıştır.
VIII. Tartışma ve Sonuç
Ä°linti boyutu hesaplaması için geliÅŸtirilen yazılım, Dinamik Sistem Çözümleyicisi (DSÇ), 13 ayrı iÅŸarete uygulanmıştır. Bu iÅŸaretlerin 10 tanesi oksipital elektrotlardan alınmış EEG iÅŸaretidir. Bütün EEG iÅŸaretleri 256 Hz’de örneklendirilmiÅŸ, 30 Hz’de alçak geçiÅŸ süzgeçlendirilmiÅŸ ve 12 bitlik bir sayısallaÅŸtırmaya tabi tutulmuÅŸlardır. DiÄŸer üç iÅŸaret ise bir sinüs iÅŸareti, bir Henon haritası ve bir beyaz gürültü parçasından oluÅŸmaktadır. Bu iÅŸaretlerin ilinti boyutu bilinmekte olup söz konusu yazılımın (DSÇ) doÄŸru parametre deÄŸerleri seçildiÄŸinde ilinti boyutunu doÄŸru hesapladığını göstermek için kullanılmışlardır.
Sayısal sonuçlar Tablo 1’de verilmiÅŸtir (ÅŸekiller için bkz. [13]). Ä°lk dikkati çeken bulgu, DSÇ’nin sinüs iÅŸaretinin ve Henon haritasının ilinti boyutunu doÄŸru hesapladığıdır. Ayrıca, DSÇ beyaz gürültünün durum uzayının tamamına yayıldığını, dolayısıyla da yükselen içerme boyutuyla doymadığını doÄŸru bir ÅŸekilde bulmaktadır. Bütün bunlar doÄŸru parametre deÄŸerleri seçildiÄŸi takdirde, DSÇ’nin ilinti boyutu hesaplarının güvenilir olduÄŸunu önermektedir.
EEG iÅŸaretleri dört guruba ayrılabilir. Ä°lk küme ışık sürümlü (30 ışık) deneklerden alınan EEG iÅŸaretleridir. Beyin ilk birkaç ışıktan sonra sürüme adapte olmakta ve kararlı bir yanıt vermeye baÅŸlamaktadır. Bu durum [13]’deki EEG zaman dizisi ÅŸekillerinde açıkça görülmektedir. Bu kararlı durum sırasında beynin tek bir çeker üzerinde olduÄŸu söylenebilir. Dönemli bir görünüme sahip olan bu iÅŸaretlerin ilinti boyutlarının çok düşük olması beklenir. Yukarıdaki tabloda görülen en düşük ortalama ilinti boyutu bu kümede görülmektedir.
Üçüncü kümede beta iÅŸaretleri yer almaktadır. Beta bandı alfa bandının hemen üstünde yer almaktadır (13-22 Hz.). Bunların ikinci kümedeki alfa dalgalarına göre daha yüksek bir ilinti boyutuna sahip olması beklenir. Tablo 1’de bu durum açıkça gözlenmektedir (7.88±0.08, 7.78±0.12, ve 8.15±0.24). Ayrıca söz konusu üç beta örneÄŸinin ilinti boyutlarının birbirine yakın olduÄŸu da görülmektedir.
Dördüncü küme hafif sara vakalarından alınan beta işaretlerini içermektedir. Bu işaretlerin ilinti boyutları üçüncü kümedeki sağlıklı bireylere ait beta işaretlerininkine göre daha düşük olup, ikinci kümedeki alfa işaretlerininkine göre daha yüksektir (6.01±0.22, 5.51±0.52). Bu da beklentilerle uyum içindedir. Yazında sara vakalarının ilinti boyutunun incelenmesi üzerine olan çalışmaların hepsi bu vakalarda beynin çekerinin ilinti boyutunda bir düşüş gözlemlendiğini belirtmektedir [14], [15].
Teknik olarak, Grassberger, Procaccia (G-P) savı sonsuz ve gürültüsüz veri gerektirmektedir. Ancak elektro-nörofizyolojide bu durum olası değildir. EEG parçaları, gürültüleri azaltmak ve durağanlık (dizgenin aynı dinamikler - aynı çeker- üzerinde olması) olasılığını arttırmak için kısa tutulurlar. Ancak en kısa ve temiz EEG verilerinde bile elektrooküloşekil (EOG), elektromiyoşekil (EMG), elektrokardiyoşekil (EKG) ve hareket artifaktları, 50 Hz girişimi, vb. kaçınılmazdır [9]. Dahası, diğer kayıt parametrelerinin (örnekleme sıklığı, sayısallaştırma kesinliği, süzgeç ayarları, vb.) enuygun değerleri tam olarak belirgin değildir [16]. Bütün bunlar G-P algoritmasının EEG verisine uygulanması durumunda bulunan sonucun ilinti boyutunun gerçek değeri olmadığını göstermektedir. Ancak yazındaki çalışmalar bu yöntemle bulunan değerlerin değişik deney koşulları ve değişik denek kümeleri arasında göreceli karşılaştırmalar yapmada yardımcı olabileceğine ışık tutmaktadır (Albano ve ark., [17]; Dvorak & Siska, [18]; Layne et. al. [19]; Mayer - Kress ve Layne, [20]; Nan ve Jinghua, [21]; Rapp ve ark. [22]). Bu bakımdan, bulunan değer EEG dinamiklerinin bağıl bir karmaşıklık ölçütü olarak kullanılabilir. Bu bulgunun üzerine, Pritchard ve Duke [11] bu ölçüte ilinti boyutu yerine boyutsal karmaşıklık adını vermişlerdir.
Doğrusal olmayan dinamiklerin beyine - organik hesaplama dizgesine - uygulanması beynin dinamikleri ile ilgili yeni kuramlar ve bilgiler doğurmuştur. Bu da yapay hesaplama dizge (sinir ağları) modellerinin geliştirilmesine büyük katkıda bulunmaktadır. Bu yüzden bu tür çalışmalar Yapay Us (YU) biliminin geleceği açısından oldukça önemlidir.
BaÅŸar’ın sinirbiliminin bu yeni dalı için söyledikleri dikkate deÄŸer[23]:
“Her ne kadar yeni yaklaşımlar yeni kavramsal pencereler açmışlar ise de…, sinirbilimin bu yeni dalının zarar görmemesi için gözümüzü dört açmalıyız. Kaotik dinamikler hiçbir deneysel bilgi içermeyen, hesaplanmamış veri ya da tek bir denekten elde edilen veri içeren makalelere dayanılarak eleÅŸtirilen bir bilim dalı olmak için geliÅŸmemeli ….. sinirbiliminde sessiz devrimler gerekmektedir. Bence, birtakım güçlüklere raÄŸmen, beyindeki kaosla ilgilenen bu yeni alan sinirbilimindeki sessiz devrimlerden biridir. (s.26).”
Sözlük
İngilizce Türkçe
analog to digital (A/D) converter analogdan sayısala (A/S) dönüştürücü
attractor çeken
auto-correlation özilinti
coordinate konaç, koordinat
deterministic gerekirci (rastgele olmayan)
false nearest neighbors (FFNs) yanlış enyakın komşular (YEK)
frictional sürtünmeli
index indis, dizin ölçüt
irrelevance iliÅŸkisizlik
limit Sınır küme
minimum enküçük
optimal enuygun, optimal
periodic dönemli
reconstruction window oluÅŸturma penceresi
simulation benzetim
singular value (SVD) decomposition tekil değer ayrışımı (TDA)
stochastic olasılıksal (rasgele)
system dizge (sistem)
theorem sav
Türkçe İngilizce
analogdan sayısala (A/S) dönüştürücü analog to digital (A/D) converter
benzetim simulation
çeken attractor
dizge (sistem) system
dönemli periodic
enküçük minimum
enuygun, optimal optimal
gerekirci (rastgele olmayan) deterministic
iliÅŸkisizlik irrelevance
indis, dizin ölçüt index
konaç, koordinat coordinate
olasılıksal (rasgele) stochastic
oluÅŸturma penceresi reconstruction window
özilinti auto-correlation
sav theorem
Sınır küme limit
sürtünmeli frictional
tekil değer ayrışımı (TDA) singular value (SVD) decomposition
yanlış enyakın komşular (YEK) false nearest neighbors (FFNs)
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image044.gif[/IMG]
Kaynaklar [1] BaÅŸar, E., “Toward a physical approach to integrative physiology. Brain dynamics and physical causality,” Am. J. Physiol, cilt 245, sayı 4, sayfa 510-533, 1989
[2] BaÅŸar, E., Röschke, J., “Synergetics of neuronal populations. A survey on experiments,” in: BaÅŸar. E., Flohr, H., Haken, H., Mandell, A.J. (Eds), Synergetics of the Brain, Springer, Berlin Heidelberg New York, sayfa 199-200 (Springer series in synergetics, cilt 23), 1983.
[3] Babloyantz, A., Nicolis, C., Salazar, M., “Evidence of chaotic dynamics,” Phys. Lett., cilt A, sayfa 152-156, 1985.
[4] Grassberger, P., Procaccia, I., “Measuring the strangeness of strange attractors,” Physica,9D: sayfa 189, 1983
[5] Abarbanel, H.D.I., Kennel, M.B., “Local false nearest neighbors and dynamical dimension from observed cahotic data”, Phys. Rev. E, cilt 47, sayı 5, sayfa 3057-3068.
[6] Albano, A. M., Muench, J., Schwartz, C., Mees, A. I., Rapp, P. E., “Singular value decomposition and the Grossberger Procaccia algorithm,” Phys. Rev.,sayıA, sayfa 38, 1988.
[7] Casdagli, M., Eubank, S., Farmer, J. D., Gibson, J., “State space reconstruction in the presence of noise,” Physica,D 51, 1991.
[8] Martinerie, J. M., Albano, A. M., Mees, A. I., Rapp, P. E., “Mutual information, strange attractors, and the enuygun estimation of dimension,” Phys. Rev., sayıA 45, sayfa 7058, 1992.
[9] Shaw, R., The Dripping Faucet As a Model Dynamical System, Aerial Press, Santa Cruz, 1984.
[10] Lo, P. C., Principie, J. C., “The effects of filtering on the EEG correlation dimension: Experimental results,” Proc eleventh annual IEEE Engineering in Medicine and Biology Society Conference, sayfa 638-639, 1989.
[11] Theiler, J., “Estimating fractal dimension,” Journal of the Optical Society of America, A, 7, sayfa 1055-1073 ,1990.
[12] Pritchard, W. S., Duke, D. W., “Measuring chaos in the brain: A tutorial review of EEG dimension estimation,” Brain and Cognition, cilt 27, sayfa 353-397, 1995.
[13] TaÅŸkın, E., “Correlation Dimension Computation of Human Electroencephalogram”, MS. Thesis, BoÄŸaziçi University, 1997.
[14] Frank, G. W., Lookman, T., Nerenberg, M. A. H., Essex, C., Lemıeux, J., Blume, W., “Chaotic time series analysis of epileptic seizures,” Physica, D 46, sayfa 427-438, 1990.
[15] Babloyantz, A., Dextexhe, A., “Low dimensional chaos in an instance of epilepsy,” Proc Natl Acad Sci, USA, Vol 83, sayfa 3513-3517, 1986.
[16] Pritchard, W. S., Duke, D. W., “Measuring chaos in the brain: A tutorial review of nonlinear dynamical EEG analysis”, International Journal of Neuroscience, cilt .67, sayfa 31-80, 1992.
[17] Albano, A. M., Mees, A. I., de Guzman, G. C., Rapp, P. E., “Data requirements for reliable estimation of correlation dimensions,” in Degn, H., Holden, A. V., Olsen, L. F. (eds), Chaos in Biological Systems, New York: Plenum, sayfa 207-220, 1987.
[18] Dvorak, I., Siska, J. “On some problems encountered in calculating the correlation dimension of EEG,” Trieste: International Centre for Theoretical Physics, 1986.
[19] Layne, S. P., Mayer-Kress, G., Holzfuss, J., “Problems associated with dimensional analysis of electroencephalogram data,” In Mayer-Kress, G. (Eds), Dimensions and Entropies in Chaotic Systems, New York: Springer-Verlag, sayfa 246-256, 1986.
[20] Mayer-Kress, G., Layne, S. P., “Dimensionality of the human electroencephalogram,” in Koslow, S. H. (Eds.), Perspectives in Biological Dynamics and Theoretical Medicine, New York: New York Academy of Sciences, sayfa 62-87, 1987.
[21] Nan, X., Jinghua, X., “The fractal dimension of EEG as a physical measure of conscious human brain activities,” Bulletin of Mathematical Biology, sayı 50, sayfa 559-565, 1988.
[22] Rapp, P. E., “Chaos in neurosciences: Cautionary tales from the frontier,” Biologist, cilt 40, sayı 89-94, 1993.
[23] [IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Yasin/LOCALS%7E1/Temp/msohtml1/01/clip_image045.gif[/IMG]BaÅŸar, E., Chaotic Dynamics and Resonance Phenomena in Brain Function. New York: Springer – Verlag, sayfa 1-30, 1990.
Tablo örneği: Şekiller ve tablolar olanaklı ise ilk söz edildiği metinle aynı sayfaya, değilse bir sonraki sayfaya konulmalıdır.
Tablo I. İzge Çözümlemesi Sonuçları MYO vs NOR
MYO vs SMA NOR vs SMA Çocuk
8 vs 10 8 vs 10 10 vs 10 95% hassasiyet
Ö X 0 90% hassasiyet
Ö Ö X Yetişkin
12 vs 3 12 vs 11 3 vs 11 95% hassasiyet
X Ö 0 90% hassasiyet
X Ö X
[1] Bir f işlevi, f -1 varsa, hem Df hem de Df -1 varsalar ve sürekli iseler, bir diffeomorfizmdir.
[HOG1]