www.1bilgi.com

A. TANIM

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

xn = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci dereceden kökü denir.

B. KÖKLÜ İFADELERİN ÖZELLİKLERİn tek ise, daima reeldir.n çift ve a < 0 ise, reel sayı belirtmez.a ³ 0 ise, daima reeldir. a ³ 0 ise, n tek ise, n çift ise,

n çift ve b ile c aynı işaretli olmak üzere,

ne tek ise a pozitif reel (gercel) sayı olmak üzere ;

k pozitif tam sayı ve a pozitif gerçel sayı olmak üzere;

(a ¹ 0 ve b ¹ 0) ise,C. KÖKLÜ İFADELERDE YAPILAN

İŞLEMLER

1. Toplama - Çıkarma

Kök dereceleri birbirine eşit ve kök içindeki sayılar da birbirine eşit olan ifadelerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.

Bulunan sonuç köklü ifadenin katsayısı olur.

2. Çarpma

n ve m, 1 den büyük tek sayı ya da a ve b negatif olmamak üzere,

i) ii)

iii)

4. Paydayı Kökten Kurtarma

Uygun koşullarda,

i)

ii)

iii)

iv)

v)

vi)

vii)D. İÇ İÇE KÖKLER

i)

ii)

iii)

iv) v) 0<y<x olmak üzere,

E. SOZSUZ KÖKLER

i)

ii)

iii)

iv)[IMG]file:///C:/e/yedek/oss/cebir/10c_dosyalar/cep_ma91.gif[/IMG]

v)

vi)

Yukarıdaki son iki özellikte a. ardışık iki pozitif tam sayının çarpımı ise v. ‘nin cevabı bu sayıların büyüğü vi‘nin cevabı bu sayıların küçüğüdür F. KÖKLÜ İFADELERDE SIRALAMA

Kök dereceleri eşit olan (ya da eşitlenen) pozitif sayılarda ,kök içindeki sayıların büyüğüne göre sıralama yapılır.

Ders Çalışma Tekniği İle İlgili Çerez Bilgiler

Canınızın ders çalışma isteğinin gelmesini bekliyorsanız yanılıyorsunuz. Ders çalışmaya başladıktan sonra isteğinizin geleceğini göreceksiniz.

Konuya başlamadan önce bu konunun sizin için önemini belirleyin.

Okuduğunuz metinlerdeki vurgulanmış bilgilerin altını mutlaka çizin.

Bir kitabı okurken öğrenilebilecek en kritik bilgilerden biriside hangi bilgilerin nerede olduğunu bilmektir. Her kitap için kendinize göre bir indeks hazırlamanız menfaatiniz icabıdır.

Sorulara cevap verme yeteneğinizi geliştirmek istiyorsanız, soru sorma becerinizi geliştirmelisiniz. Böylece soru çözmek sizin için çocuk oyuncağı olacaktır.

Özellikle uzun paragraflarda bütünü anlayana kadar ana fikri kaçırabilirsiniz. Bu nedenle paragrafın sonuna hızlı bir şekilde göz atın.

Renkli kalem kullanmak çalışmayı daha zevkli hale getirir. Beynin sağ lobunu çalıştırır. Böylece bilgiler akılda daha kolay kalır.

Öğrenme üzerinde en az bozucu etki yapan uykudur. Dolayısıyla uyumadan önce yapılan tekrarların öğrenme açısından çok büyük yararları vardır.

Sınavda tesadüflerin yararı bazen olabilir. Ancak bu daha çok soru çözmek için yeterince pratik yapmış öğrenciler için geçerlidir.

Öğretmenle olan sağlıklı ilişkileriniz, derse olumlu yansıyacaktır. Yalnız ders çalışmakla yetinmeyip, o dersin hocası ile ilişkilerinizi geliştirin. Dersten sonra anlamadığınız noktaları hocanıza sorun ve eksikliklerinizi gidermek için ondan taktikler alın.

Deneme sınavını önemsemeyip öylesine giren öğrencilerin çalışmalarını gerçekçi anlamda değerlendirmeleri mümkün olmaz. deneme sınavlarına da aynı önemi vermeli ve kendinize gerçek bir sınav ortamı yaşatmalısınız.

Öğrenmede etkili olan unsurlar bir zincirin halkaları gibi birbirine bağlıdır. Anlama düzeyi, okuma hızı, not tutma alışkanlığı, hafıza gücü, konsantrasyon, öğrenme isteği, sabır, mücadele ruhu gibi unsurlar karşılıklı etkileşim halindedir. Dolayısıyla tek yönde değil her açıdan kendinizi geliştirmelisiniz.

Yaptığınız planlar her zaman istediğiniz gibi gitmeye bilir. Yığılan dersleri ve zorlaşan konuları gördükçe ümitsizliğe kapılıp, inancınızı yitirebilirsiniz. Bu anlamda motivasyonunuzu kaybetmemek için zaman planlamasında esnek olun, önceliklerinizi belli periyotlarda tekrar değerlendirin.

Alışkanlıklar kolay kolay oluşmaz, olumsuz ders çalışma alışkanlıklarıda böyledir. Dolayısıyla bu olumsuzlukların hepsinden hemen kurtulacağınızı düşünüyorsanız, yanılıyorsunuz. Önce bunların neler olduğunu tespit edip her hafta birinin üzerine gidebilirsiniz.

Soru çözümünde eğer iki şık arasında kalmışsanız, muhtemelen doğru cevap ilk aklınıza gelen şıktır.

Yoğun duygusal olaylardan hemen sonra ders çalışmaya girişmek yararsızdır. Bu olaylardan belli bir süre geçtikten sonra çalışmaya başlamak en idealidir.

Çalışma heyecanı ve verimini artıran yaklaşımlardan biri de kay ettiğiniz ilerlemeyi hemen görmektir. Bir konuya çalıştıktan sonra o konuyla ilgili soru üretebilmek veya çözmek çalışmayı daha zevkli hale getirir.

Zararlı alışkanlıklar ara sırada olsa her zaman zararlıdır. Mesela, derse başlamayı erteleme alışkanlığından kurtulmak istiyorsunuz. O zaman ertelemeyin hemen başlayın. Geciktirdikçe alışkanlıklar zamk gibi yapışır. Bunun gibi diğer olumsuz alışkanlıklarınızın üzerine teker teker gidin.

Öğrenmenin temelinde aktif okuyucu olmak vardır. Yeni bir bilgi öğrendiğinizde onun geçmişte öğrendiğiniz hangi bilgilerle ilişkili olduğunu bilinçli olarak keşfetmeye çalışmalısınız.

Ders çalışırken görme alanınızı daraltın. Mesela güneş şapkası alın ve duvara dönük çalışın. Böylece görme alanınızı çalışacağınız derse daha kolay odaklayacak ve çok daha kolay öğreneceksiniz.

Konuları bir arkadaşınızla soru cevap şeklinde çalışın. Daha kalıcı olur.

Düzensiz ve isteksiz 5-6 saat çalışmaktansa, kısada olsa düzenli ve sistemli çalışmak çok daha verimlidir.

Alıntıdır!

A. BÖLME

A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,

bölme işleminde,A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.A = B . C + K dır.Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir.K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI

1. 2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

2. 3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.

3. 4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür…. abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.

l… abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.

4. 5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.

5. 7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1 … a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

k Î Z olmak üzere,

(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + … = 7k

olmalıdır.Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, … olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + … işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.

6. 8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.

3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, … olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölü-münden kalana eşittir.

7. 9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

8. 10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.

9. 11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan–1 … a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)… = 11 . k

ve k Î Z olmalıdır.

® (n + 1) basamaklı anan–1 … a4a3a2a1a0 sayı-sının 11 ile bölümünden kalan

(a0 + a2 + a4 + …) – (a1 + a3 + a5 + …)… işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.

Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür.3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür.C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ

A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,

A nın C ile bölümünden kalan K1 ve

B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.

Buna göre,A . B nin C ile bölümünden kalan K1 . K2 dir.A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir.D . A nın C ile bölümünden kalan D . K1 dir.AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir.Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM

Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ

Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazıl-masına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = am . bn . ck olsun.A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaret-lileri de negatif tam bölenidir.A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı :A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı – (a + b + c) dir.A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:A sayısını pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:

Yukarıdaki şekillerde d doğrusunun farklı durumlarına karşılık oluşan a eğim açısı gösterilmiştir.Doğrunun denklemi:Bir doğru üzerindeki noktaların koordinatlarını veren eşitliğe doğrunun denklemi denir.

y = mx + ny = mx + n eşitliğinde m: eğim, n: sabit sayıdır. ax + by + c = 0 şeklinde verilen denklemde y yalnız bırakılırsa

elde edilir x in katsayısı eğimi verir.

Öyle ise,

ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi

Eğimi eşit olan doğrulara paralel doğrular denir. Doğruların eğimleri arasındaki bağıntıdan daha sonra bahsedeceğiz.

2. İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğim ve Denklemi

a. İki noktası bilinen doğrunun eğimi

Analitik düzlemde A(x1, y1), B(x2, y2) noktaları bilinen d doğrusu üzerinde A, B noktalarının koordinatları kullanılarak oluşturulan ABC üçgeninin A açısı ile d doğrusunun eğim açısı yöndeş açılar olduklarından eşittirler.

Buradan

olduğundanşeklinde de yazılabilirb. İki noktası bilinen doğrunun denklemi A(x1, y1), B(x2, y2) noktalarından geçen d doğrusu üzerinde doğruyu oluşturan noktaları temsil eden P(x, y) noktası alalım. Bu üç noktadan herhangi ikisini kullanarak yazacağımız eğimler eşittir. Buna göre,

Bu eşitlik bize iki noktası bilinen doğru denklemini verir.

şeklinde de yazılabilir. Sonuç aynıdır.Orijinden yani O(0,0) noktasından geçen doğrularda x = 0 için y = 0 olacağındany = mx + n denklemindeki n terimi sıfır olur.

O halde orijinden geçen doğrunun eğimi m ise denklemi

y= mxDoğru denklemi ax + by + c = 0 şeklinde ise ve orijinden geçiyorsa c = 0 dır.

Doğru denklemi ax + by = 0 olur.

3. Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi

A(x1, y1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğru denklemiA(x1, y1) noktası ve P(x, y) noktası kullanılarak yazılan eğim değeri verilen eğime eşitlenir.

4. Eksenlere Paralel Doğruların Denklemi

a. Eksen doğruları

Analitik düzlemde x (apsis) ekseninde bütün noktaların y si (ordinatı) sıfır olduğundan x ekseni aynı zamanda y = 0 doğrusudur.

y (ordinat) ekseni de x = 0 doğrusudur.

b. x eksenine paralel doğrular

y = k doğrusu; y eksenini k noktasında keser, x eksenine paralel ve y eksenine diktir.c. y eksenine paralel doğrular

x = k doğrusu;

x eksenini k noktasında keser, y eksenine paralel ve x eksenine diktir.

5. Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğruların Denklemi

x eksenini a noktasında y eksenini de b noktasında kesen doğrunun denklemi

Doğru (a, 0) ve (0, b) noktalarından geçtiğine göre, doğrunun denklemi iki noktadan geçen doğru denklemi özelliği kullanılarak da yazılabilir.Dik koordinat sisteminde apsisleri ordinatlarına eşit olan noktaların oluşturduğu doğruya

y=xdoğrusu denir.Dik koordinat sisteminde apsisleri ile ordinatları birbirinin ters işaretlisi olan noktaların oluşturduğu doğruya

y= -x doğrusu denir.

y = x ve y = –x doğruları aynı zamanda koordinat eksenlerinin açıortaylarıdır. Koordinat eksenleri ile yaptıkları açılar 45° dir.6. Doğruların Grafikleri

Doğruların grafiklerini çizmek için x ve y eksenlerini kestikleri noktalar bulunur.

x eksenini kestiği nokta için y = 0 ve y eksenini kestiği nokta için x = 0 değerleri alınır.

A. TANIM Olasılık, sonucu kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Bir zar atıldığında üst yüze gelen noktaların sayısının ne olacağı gibi şans oyunlarıyla ilgilenen olasılık teorisi günümüzde sosyal olaylar ve bilimsel çalışmalarda da kullanılmaktadır.

B. OLASILIK TERİMLERİ

Bir madeni para havaya atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini (v.b) tesbit etme işlemine deney denir.

Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) sonuç denir.

Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümeye örnek uzay ve örnek uzayın her bir elemanına örnek nokta denir.

Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir.

Örnek uzayın alt kümelerinden olan boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir.

Örnek uzayın bütün elemanlarını içeren alt kümesine mutlak (kesin) olay denir.

A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun.A Ç B = Æise, A ve B olayına ayrık olay denir.

C. OLASILIK FONKSİYONU

E örnek uzayının bütün alt kümelerinin oluşturduğu kuvvet kümesi K olsun.

P : K ® [0, 1]

biçiminde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. A Î K ise P(A) gerçel sayısına A olayının olasılığı denir.

Ü1) Her A Î K için, 0 £ P(A) £ 1 dir. Yani, A olayının olasılığı 0 ile 1 arasındadır.

2) İmkansız olayın olasılığı 0 ve kesin olayın olasılığı 1 dir.

3) A, B Î K ve A Ç B = Æ ise,

P(A È B) = P(A) + P(B) dir.

Ü 1) 2) A Ì B ise P(A) £ P(B) dir.

3) A, A nın tümleyeni olmak üzere,

P(A) + P(–A) = 1 dir.

4) P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)

5) A, B, C olayları E örnek uzayının ikişer ikişer ayrık bütün olayları ise,

(E = A È B È C)

P(A) + P(B) + P(C) = 1 dir.

Ü 1) n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, örnek uzay 2n

dir.

Ü 2) n, zarın atılma sayısını veya zar sayısını göstermek üzere, örnek uzay 6n dir.

D. BAĞIMSIZ VE BAĞIMLI OLAYLAR

Bir olayın elde edilmesi, diğer olayın elde edilmesini etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir.

Eğer iki olay bağımsız değil ise, bu olaylara birbirine bağımlıdır denir.

Ü A ve B bağımsız iki olay olsun. A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı :

P(A Ç B) = P(A) . P(B) dir.

E. KOŞULLU OLASILIK

A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B) ile gösterilir.

Bir deneyde bir A olayının olasılığı x olsun. Bu deney n kez tekrarlandığında A olayının k kez gerçekleşmesi olasılığı,

I. PERMÜTASYON A. SAYMANIN TEMEL KURALI

1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m . n yolla yapılabilir.

B. FAKTÖRİYEL

1den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.

0! = 1 olarak tanımlanır.

1! = 1

2! = 1 . 2

……………..

……………..

……………..

n! = 1 . 2 . 3 . … . (n – 1) . n

Ü n! = n . (n – 1)!

Ü (n – 1)! = (n – 1) . (n – 2)! dir.

C. TANIM

r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.

n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,

Ü 1) P(n, n) = n!

2) P(n, 1) = n

3) P(n, n – 1) = n! dir.

D. TEKRARLI PERMÜTASYON

n tane nesnenin; n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, … , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun.

n = n1 + n2 + n3 + … + nrolmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,

E. DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON

n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.

n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :

(n – 1)! dir.

n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının sayısı :

II. KOMBİNASYON

TANIM

r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir.

n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı

Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur.

Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:Ü Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;

a) Çizilebilecek doğru sayısıb) Köşeleri bu noktalar üzerinde olantane üçgen çizilebilir.Ü Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çokfarklı noktada kesişirler.

Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir.

Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan

tane paralelkenar oluşur.

Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim noktası vardır.

III. BİNOM AÇILIMI

A. TANIM

n Î IN olmak üzere,

ifadesine binom açılımı denir.

Burada;

sayılarına binomun katsayıları denir.

ifadelerinin her birine terim denir.

ifadesinde katsayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir.

B. (x + y)n AÇILIMININ ÖZELLİKLERİ

1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.

2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin top-lamı n dir.

3) Katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır. Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir.

4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;

baştan (r + 1). terim :

sondan (r + 1). terim :

(x – y)n ifadesinin açılımında 1. terimin işareti (+), 2. terimin işareti (–), 3. terimin işareti (+) … dır.

Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir.

Ü n Î N+ olmak üzere,

(x + y)2n nin açılımında ortanca terim

Ü n Î IN+ olmak üzere,

(xm + )n açılımındaki sabit terim,

ifadesinde m . (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur.

Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için

x = 0 ve y = 0 yazılır.

Ü (a + b + c)n nin açılımında

ak . br . cm li terimin katsayısı;

A. TANIM

a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir.

Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.

B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI

1) f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası

T(r, k) olmak üzere,

Ü Parabol doğrusuna göre simetriktir.

doğrusu parabolün simetri eksenidir.

y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r, k) dır.C. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR

Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun.

ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2, 0), C(0, c) dir.

Ü ax2 + bx + c = 0 denklemindeD = b2 – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser.D = b2 – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez.D = b2 – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir.D. x2 NİN KATSAYISI OLAN a NIN İŞARETİ

1)a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup,f(x),in en küçük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.2) a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktası-nın ordinatı olan k dır.

.a>0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(fx) in en büyük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.3) |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin katsayısı, g deki x2 nin katsayısından büyüktür.

|a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre , yandaki parabollere göre ,f deki x2 nin katsayısı g deki x2 nin katsayısından büyüktürf(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,

1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.

2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.

3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.

E. GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI

1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) … (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.

2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – r)2 + k … (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.

3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa

y1 = ax12 + bx1 + c … (1)

y2 = ax22 + bx2 + c … (2)

y3 = ax32 + bx3 + c … (3)

Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.

F. PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU

y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.f(x) = g(x)

ax2 + bx + c = mx + n

ax2 + (b – m)x + c – n = 0 … (*)

(*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.

Buna göre, (*) denkleminde;D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.D< 0 ise, parabol ile doğru kesişmez.D = 0 ise, parabol doğruya teğettir.Ü y = ax2 + bx + c parabolü ile y = dx2 + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır.

PİRAMİTLERBir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir.

T noktası piramidin tepe noktasıdır. Kapalı bölge ise piramidin tabanıdır. Piramit; tabanı oluşturan şeklin ismiyle adlandırılır. Taban kare ise, kare piramit; taban altıgense altıgen piramit gibi.

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.

T noktasının taban düzlemi üzerindeki dik izdüşümüne H dersek [TH] piramidin yüksekliği olur.

|TH| = h biçiminde yazılır. [TA], [TB], [TC]… piramidin yanal ayrıtlarıdır.

Piramitlerin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri kadardır.

1.Kare Piramit Kare piramidin tabanı kare biçimindedir. Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur.

İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir.

|PH| = h piramidin yüksekliğidir.

Yan yüz yüksekliği |PK| dır.

Tabanının bir kenarına a dersek

Buradan yan yüz yüksekliği

|PK|2 = h2 + ( )2 olur.

Tüm alan yan yüz alanları ile taban alanının toplamına eşittir.

2. Eşkenar Üçgen Piramit

Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir.

Taban Alanıolduğundan3. Düzgün Dörtyüzlü

Dört yüzü de eşkenar üçgenlerden oluşan cisimdir. Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner.

Bir ayrıtı a olan düzgün dörtyüzlünün

Yarı yüz yüksekliğive Cisim yüksekliği olurBuradan

4. Düzgün Sekizyüzlü

Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir.

Bir ayrıtına a dersek yan yüz yüksekliği olur.

Cismin, ortak tabanlı iki adet kare piramitten oluştuğunu

düşünürsek piramitlerin yüksekliği;

olur.

Piramitin hacmi olduğundan;

Yüzey şekilleri eşkenar üçgen olduğundan

5. Düzgün Altıgen Piramit

Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir.

Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur.

KONİ

Tabanı daire biçiminde olan piramide koni adı verilir.

Taban alanı =olduğundan

bulunur. Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgen oluşur.

KONİ

Tabanı daire biçiminde olan piramite koni adı verilir.

Burada;

Taban yarıçapı |OB| = r

Cisim yüksekliği |PO| = h olur.

|PA| = |PB| = l uzunluğuna ana doğru denir.

POB dik üçgeninde,

h2 + r2 = l2 bağıntısı vardır.

Koninin yanal alanı bir daire dilimidir.

Daire diliminin alanı, yay uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısıdır. Yay uzunluğu taban çevresine eşit olduğundan,

Yanal alan= pr2+prl

Tüm alan bulunurken, taban alanı da ilave edilir.

Tüm alan = šr2 + šrlDaire diliminin merkez açısına a dersekoranı elde ederiz.Yükseklikleri ve taban yarıçapları eşit olan iki cismin hacimleri de birbirine eşittir.Üçgensel şekiller bir kenarı etrafında döndürüldüğünde koni elde edilir.şekildeki ABC dik üçgeninin AB kenarı etrafında döndürülmesi ile |BC| yarıçaplı ve yüksekliği |AB| olan koni elde edilir.

Kesik piramitlerin hacimleri bulunurken cisim piramide tamamlanır.

[O1B] // [O2D] olduğundan

benzerliği vardır.Küçük koninin büyük koniye benzerlik oranı dir. Alanları

oranı benzerlik oranının

karesi olduğundan, alanlar oranı olur. Hacimler oranı

ise benzerlik oranının küpüdür. r1 yarıçaplı küçük koninin hacmine V1, r2 yarıçaplı büyük koninin hacmine V2 dersek

KÜRE

Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir. Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir. Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir.O merkezli R yarıçaplı kürede;

Yüzey alanı1. Küre Dilimi

[KL] çap

m(AOB) = a

şekildeki gibi kesilip çıkarılan küre diliminin hacmi

2. Küre Kapağı

Bir küre merkezinden |OP| uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde kesit alanının daire şeklinde olduğu görülür.

Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir. Kesitin merkezinden uzaklığına |OP|, kesitin yarıçapına r ve kürenin yarıçapına R dersek

|OP|2 + r2 = R2eşitliği vardır. h = R - |OP|Küre kapağının alanı= 2pRhYandaki şekildeki gibi olan

Küre parçasının haçmi

1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da adlandırılır.

Dik koordinat sistemi

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir.

Analitik düzlemde her noktaya bir (x, y) sayı ikilisi karşılık gelir. Bu sayı ikilisine noktanın koordinatları denir.P(x, y) noktası için, x noktanın apsisi, y de ordinatıdır. Apsis ve ordinat değerleri eksenlere çizilen dik doğruların eksenleri kestiği noktalardır.

Orijinin koordinatları O(0,0) dır.

x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır. A(a, o) noktası gibi. y ekseni üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır. B(o, b) noktası gibi.Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayırırlar.I. Bölge: x > 0

y > 0

II. Bölge: x < 0

y > 0

III. Bölge: x < 0

y < 0

IV. Bölge: x > 0

y < 0

2. İki nokta arasındaki uzaklık

a. Apsisleri veya ordinatları eşit olan noktalar arasındaki uzaklık.Apsisleri eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın ordinatları farkının mutlak değeridir. A(a, c) ve

B(a, b) noktaları için

|AB| = |c – b|Ordinatları eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın apsisleri farkının mutlak değeridir.A(b, a) ve

B(c, a) noktaları için

|AB| = |c – b|

b. Apsisleri ve ordinatları farklı noktalar arasındaki uzaklık

Analitik düzlemde A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktaları arasındaki uzaklık |AB| biçiminde gösterilir.

A ve B noktalarının analitik düzlemdeki yerleri belirtildiğinde AKB dik üçgeni meydana gelir.

AKB dik üçgeninde [AB] hipotenüsdür. [AK] dik kenar uzunluğu iki noktanın apsisleri farkı (x2 – x1) ve [BK] dik kenar uzunluğu iki noktanın ordinatları farkı (y2 – y1) dir.

Pisagor teoreminden iki nokta arası uzaklık;

eşitliği ile bulunabilir.

Burada x1 ile x2 nin ve y1 ile y2 nin yer değiştirmesi sonucu değiştirmez.İki nokta arası uzaklık bulunurken dik üçgenden de yararlanılabilir.İki noktanın ordinatları farkı dik üçgenin bir kenarı, apsisleri farkı ise diğer dik kenarıdır.

Dik üçgenin hipotenüsü bize iki nokta arası uzaklığı verir.

c. Bir noktanın orijine uzaklığı P(a,b) noktasının orijine uzaklığı

3.Orta Nokta Koordinatları

Yukarıdaki şekilde A(x1, y1) noktası ile B(x2, y2) noktası veriliyor. [AB] doğru parçasının ortasındaki nokta K(x0, y0) noktası ise

Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgenlerde (kare,dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen) karşılıklı köşelerin koordinatları toplamları eşittir.ABCD paralelkenar olduğundan [AC] nin orta noktası, [BD] nin de orta noktasıdır.

Buradan;

x1 + x3 = x2 + x4

y1 + y3 = y2 + y4

4.Belli Oranda Bölen Nokta Koordinatları

Belli oranda bölen noktayı bulurken; verilen oranlar ile apsisler farkı ve ordinatlar farkı arasında benzerlikten kaynaklanan bir eşitlik oluşur.

A(x1,y1) , B(x2,y2) ve C(x3,y3) noktaları için,

eşitliği vardır.Belli oranda bölen noktayı bulurken yukarıdaki eşitlikten faydalanarak aşağıdaki metod kullanılabilir.

m uzunluğunda (x2 – x1) kadar değişirse

n uzunluğunda (x3 – x2) kadar değişir.

Değişme miktarı artma yada azalma olabilir. Önemli olan noktaların aynı doğrultuda olması ve aynı yönde hareket etmektir. Aynı şeyler ordinatlar için de geçerlidir.

m uzunluğunda (y2 – y1) kadar değişirse

n uzunluğunda (y3 – y2) kadar değişir.

5. Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları

ABC üçgeninin köşe koordinatları

A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) ve ağırlık merkezi G(xG,yG) ise ağırlık merkezi koordinatları:

Bu eşitlikler belli oranda bölen nokta özellikleri kullanılarak elde edilebilir.

6. Köşe Noktalarının Koordinatları Bilinen Üçgenin Alanı

Köşe koordinatları A(x1,y1), B(x2,y2) ve C(x3,y3) olan ABC üçgeni veriliyor.

Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanını bulmak için yukarıda olduğu gibi köşe koordinatları alt alta yazılır. İlk yazılan en alta ilave edilir ve şekildeki gibi çarpılır. Elde edilen sonuç ikiye bölünerek alan değeri bulunur. Alan negatif olamayacağından, sonuç negatifte çıksa pozitif kabul edilir. (Mutlak değeri alınır.)

Üç köşesinin koordinatları bilinen bir üçgenin alanı, üçgen analitik düzlemde çizilerek de bulunabilir.Köşe koordinatlarından herhangi ikisinin apsisleri yada ordinatları eşit ise üçgenin kenarlarından biri eksenlere paralel olur. Bu durumda üçgenin alanı çizilerek de bulunabilir.Bir üçgenin alanının sıfır çıkması, köşe koordinatları olarak verilen üç noktanın doğrusal üç nokta olduğunu gösterir.

1. Geometrik Yer TanımlarıDüzlemde bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bir çember belirtir.Düzlemde bir doğrudan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri paralel iki doğrudur.Düzlemde sabit iki noktaya uzaklıkları eşit noktaların geometrik yeri bir doğrudur. (Orta dikme doğrusu)Düzlemde paralel iki doğruya uzaklıkları eşit noktaların geometrik yeri bir doğrudur.Düzlemde doğrusal olmayan sabit üç noktaya uzaklıkları eşit noktaların geometrik yeri bir noktadır.2. Düzlemde sabit bir d doğrusu ve d doğrusu üzerinde sabit bir P noktası alınıyor.

d doğrusuna a cm ve P noktasına b cm uzaklıktaki noktaların geometrik yeri için,

P noktasına b cm uzaklıktaki noktaları bulmak için P merkezli b cm yarıçaplı çember çizilir.d doğrusuna a cm uzaklıktaki noktalar d doğrusuna paralel iki doğrudur.

A, B, C, D noktaları d doğrusuna a cm ve P noktasına b cm uzaklıktadırlar.

3. Üçgen ÇizimiBir kenara ait yükseklik h ise, o kenara h kadar uzaklıktan paralel doğru çizilir.Bir kenar uzunluğu |AB| kadarsa, A veya B noktasından |AB| yarıçaplı çember çizilir.a. [AB] ve [BC] kenar uzunluğu ve ha yüksekliği verilen ABC üçgeninin çizilebilmesi için,

[BC] kenarına ha uzaklıktan bir paralel doğru çizersek A köşesi bu doğru üzerinde olmalıdır.[AB] kenarının uzunluğu bilindiğine göre, A köşesi B merkezli |AB| yarıçaplı çemberin üzerinde olmalıdır. O halde doğru ile çemberin kesiştikleri nokta bu iki şartı sağlayan A noktasıdır.

A noktası B ye ve C ye birleştirilerek ABC üçgeni çizilir.

b. [BC] kenarı, B açısı ve Va kenarortay uzunluğu verilen ABC üçgeninin çizilebilmesi için,

[BC] kenarının orta noktasından Va yarıçaplı çember çizersek, B açısının kolu ile çemberin kesim noktası A köşesini verir. A ve C birleştirilerek ABC üçgeni çizilir.4. Bir üçgenin belirli olabilme şartları

Bir üçgenin belirli olabilmesi için, en az biri kenar olmak şartıyla üç elemanı bilinmelidir.

a. İki kenarı ve bu iki kenar arasındaki açısı bilinen üçgenler çizilebilir.

[AB], [BC] ve

m(ABC) = a

sabit verileriyle bir tek ABC üçgeni çizilebilir.

b. Üç kenarı bilinen üçgenler.

[AB], [AC] ve [BC] sabit verileriyle bir tek ABC üçgeni çizilebilir.

c. Bir kenarı ve bu kenarın oluşturduğu köşelerdeki açıları bilinen üçgenler.

[AB], m(BAC) = a ve m(ABC) = b sabit verileriyle bir tek ABC üçgeni çizilebilir.

d. İki kenarı ve bu kenarların oluşturduğu açının dışında bir açısı bilinen üçgenler

[AB], [AC] ve m(ABC) = a sabit verileriyle iki farklı ABC üçgeni çizilebilir.

Şekildeki ABC üçgeninde de görüldüğü gibi verilerde bir değişiklik yapmaksızın aynı verilerle hem ABC üçgeni hem de ABC’ üçgeni çizilebilir.Buradan a>90° olursa birtek üçgen cizilebilir.