Arrow’un İmkânsızlık Kuramı
Salı, 06 Kasım 2007Arrow’un İmkânsızlık Kuramı Arrow’un İmkansızlık Kuramı veya Arrow’un Paradoksu, oylama sistemlerinde, dereceli tercihlere dayanan ve üç ya da daha fazla seçenek sunan hiçbir oylama sisteminin belli bir takım mantıklı kıstasları aynı anda saÄŸlayamayacağını gösterir. Bu kıstaslar, kısıtlanmamış alan, dayatmama, diktatörsüzlük, tekdüzelik ve ilgisiz alternatiflerin bağımsızlığı kıstaslarıdır ve aÅŸağıda açıklanacaklardır.
Kuram, ismini aldığı ekonomici Kenneth Arrow tarafından doktora tezi olarak sunulmuÅŸ ve 1951 yılında yayımlanan Toplumsal Tercih ve Bireysel DeÄŸerler adlı kitabı ile popülerlik kazanmıştır. Arrow, 1972′de ekonomi alanında Nobel Ödülü’nü kazananlardan biridir.
//
Kuramın özeti
Seçenek dökümleri çıkarılması pek çok alanda karşılaşılan bir uygulamadır. Refah ekonomisinde kabul edilebilir ve dengeli bir ekonomik çözüm bulunması, çeşitli kıstaslara dayanarak akılcı bir karara ulaşılan karar verme süreçleri, çok sayıda seçmenin oylarının değerlendirilmesi ile bir karara ulaşılan seçim sistemleri gibi örneklerde seçenek dökümleri yapılması gereksinimi oluşur.
Arrow’un kuramının temelinde belli bir seçenek (sonuç) kümesinden bir tercih sırası ortaya çıkarma düşüncesi yatar. Toplumdaki her birey (veya benzer ÅŸekilde her karar kıstası) seçenek kümesindeki seçenekleri belli bir sıralamaya tabi tutar. Bu tercihli seçim sisteminde aradığımız ÅŸey, bu çok sayıdaki bireysel sıralanmış tercihleri tek bir genel toplumsal tercih sırasına dönüştürecek olan bir toplumsal refah iÅŸlevidir. Adil bir oylama yönteminin oluÅŸturulmasında mantıklı olduÄŸu kabul edilen aÅŸağıdaki özellikler, kuramda önemli yer tutar:Diktatörsüzlük: Toplumsal refah iÅŸlevi, sadece tek bir bireyin tercih sırasını dikkate alıp, diÄŸer bireyleri görmezden gelemez. Bir baÅŸka deyiÅŸle toplumsal refah iÅŸlevi birden fazla seçmenin isteklerine duyarlıdır. Kısıtlanmamış Alan veya Evrensellik: Toplumsal refah iÅŸlevi, mümkün olan bütün bireysel tercih sıralamalarını deÄŸerlendirerek deterministik ve eksiksiz bir toplumsal tercih sıralaması oluÅŸturmalıdır. Bir baÅŸka deyiÅŸle, oylar bütün seçenekleri birbirine göre kıyaslayan bir sıralama ÅŸeklinde üretilmeli, oy iÅŸleme düzeneÄŸi de bütün seçmenlerin sıralamalarını (oylarını) iÅŸleyebilmeli ve bu oy dağılımı üzerinde her çalıştırılışında aynı sonucu vermelidir; sürecin hiçbir noktasında keyfiyet yoktur. İlgisiz Alternatiflerin Bağımsızlığı (İAB): EÄŸer dikkatimizi sonuç kümesinin bir alt kümesine odaklarsak ve toplumsal refah iÅŸlevini sadece o alt kümeye uygularsak, elde ettiÄŸimiz sonuç tüm kümeye uyguladığımızda elde ettiÄŸimiz sonuçla baÄŸdaÅŸmalıdır. Bireylerin ilgisiz alternatiflerdeki (alt kümenin dışında kalan elemanlardaki) tercih sırasını deÄŸiÅŸtirmeleri, ilgilendiÄŸimiz alt kümedeki toplumsal tercih sıralamasına etki etmemelidir. Bu özellik toplumsal refah iÅŸlevinin bireysel tercih profiline yanayına olan duyarlılığını azaltmak için getirilen bir kısıtlamadır. Tekdüzelik veya Toplumsal ve Bireysel DeÄŸerlerin Azaltmayıcı İşbirliÄŸi: EÄŸer bir birey kendi tercih sıralamasındaki bir elemanı daha üst sıraya çıkartırsa bu eleman toplumsal tercih sırasında da ya daha üste çıkmalı ya da konumunu korumalıdır; aÅŸağı düşemez. Bir baÅŸka deyiÅŸle bir birey, bir seçeneÄŸi daha üste çıkarmak suretiyle aÅŸağı çekemez. Dayatmama veya Bireyin EgemenliÄŸi: Bireysel tercih sıralamalarının sonucunda mümkün olan bütün toplumsal tercih sıralamaları oluÅŸabilmelidir. Bu da toplumsal refah iÅŸlevinin üzerine olduÄŸunu gösterir, sonuç kümesinde herhangi bir kısıtlama yoktur. Arrow’un kuramına göre karar verici kurumda en az iki üye ve seçenek grubunda da en az üç seçenek bulunduÄŸu durumda bu yukarıda anılan kıstasları aynı anda saÄŸlayan bir toplumsal tercih iÅŸlevi tasarlamak mümkün deÄŸildir.
Arrow’un kuramının bir baÅŸka sürümü tekdüzelik ve dayatmama kıstaslarının yerini almak üzere aÅŸağıdaki kıstasın eklenmesiyle elde edilir:Pareto VerimliliÄŸi: EÄŸer tüm bireyler belli bir seçeneÄŸi bir baÅŸkasına yeÄŸlerse, bu yeÄŸleme toplumsal tercih sıralamasına da yansımak zorundadır. Bu kıstas, yine, toplumsal refah iÅŸlevinin tercih yanayına gösterdiÄŸi hassasiyeti en aza indirmek için arzu edilir. Kuramın bu sürümü daha güçlüdür (daha zayıf koÅŸulları vardır) zira tekdüzelik, dayatmama ve ilgisiz alternatiflerin bağımsızlığı koÅŸulları beraberce Pareto verimliliÄŸi koÅŸulunu saÄŸlatır. Bununla beraber Pareto verimliliÄŸi, dayatmama ve ilgisiz alterntiflerin bağımsızlığı bereberce tekdüzelik koÅŸulunu saÄŸlatmayabilir.
Kuramın resmî ifadesi
A bir sonuçlar kümesi olsun, N de seçmenlerin veya karar kıstaslarının bulunduÄŸu küme olsun. A’nın bütün tam doÄŸrusal sıralamalarını L(A) ile gösterelim (bu küme A kümesinin elemanlarının permütasyonlarını gösteren S | A | kümesine denktir).
Bir toplumsal refah iÅŸlevi, ÅŸeklinde gösterilen ve seçmenlerin tercih sıralamalarını A üzerinde tek bir tercih sıralamasına dönüştüren bir iÅŸlevdir. Seçmenlerin trcihlerini gösteren N elemanlı kümesine tercih yanayı (tercih profili) denir. Arrow’un kuramı, en güçlü ve en sade biçimindeyken, A seçenek kümesinde 2′den fazla eleman bulunduÄŸu takdirde aÅŸağıdaki üç koÅŸul arasında uyumsuzluk oluÅŸacağını ilan eder:
Pareto VerimliliÄŸi, veya OybirliÄŸi EÄŸer a seçeneÄŸi tüm sıralamalarında b’den önce seçilmiÅŸse a’nın derecesi tarafından da b’den önce seçilir. (Bu maddenin dayatmama özelliÄŸini de kendiliÄŸinden saÄŸladığına dikkat ediniz). Diktatörsüzlük Tercihleri her zaman baskın olan bir i bireyi yoktur. Yani, ifadesini saÄŸlayan bir elemanı yoktur. İlgisiz Alternatiflerin Bağımsızlığı ve ÅŸeklindeki iki tercih yanayında, tüm i bireyleri için eÄŸer a ve b tercih sırası Ri’de ve Si’de aynı ise, a ve b seçeneklerinin sırası ‘de ve ‘de de aynıdır.
Kuramın irdelenmesi
Arrow’un kuramı matematiksel bir sonuçtur, ancak sıkça "Adil bir oylama yöntemi yoktur", "Bütün dereceleme yöntemleri kusurludur" veya "Kusursuz olan yegâne oylama yöntemi diktatörlüktür" gibi matematik dışı ifadelerle dile getirilir. Bu söylemler Arrow’un sonucunu basite indirgemekte ve genelgeçer gerçekler olarak kabul görmemektedirler. Arrow’un kuramının bize söylediÄŸi ÅŸey, bir oylama düzeneÄŸinin yukarıda sayılan koÅŸulların hepsini aynı anda saÄŸlamasının mümkün olmadığıdır.
Arrow, öne sürdüğü kıstaslar için "adil" sıfatını kullanmıştı. Gerçekten de, Pareto verimliliÄŸi ve dayatmama koÅŸulları önemsiz ayrıntılar gibi görünüyor. Ancak ilgisiz alternatiflerin bağımsızlığı (İAB) kıstasını göz önüne alırsak; diyelim ki Ahmet, Kemal ve Osman liderlik için yarışmaktadırlar, ve Osman gözde adaydır. Arrow’un kuramına göre, İAB koÅŸulunun saÄŸlanması için örneÄŸin Kemal’in yarış dışı kalması durumunun Osman’ı ve Ahmet’i etkilememesi gerekir. Ancak Kemal’in alacağı oyların Ahmet’e kayması sonucu seçimi Ahmet kazanmaktadır. Bu durum pek çok kiÅŸi tarafından "haksızlık" olarak yorumlanır. Ancak olmaktadır, ve Arrow’un kuramı da bu "haksız" durumların, baÅŸka bir kıstası gevÅŸetmedikçe tümüyle önlenemeyeceÄŸini ortaya koymaktadır. Kusursuz sistem olamamaktadır. Dolayısıyla Arrow’un kuramının ışığı doÄŸrultusunda sorulması gereken ana soru ÅŸudur: hangi kıstası gevÅŸetmeli?
ÇeÅŸitli kuramcılar ve meraklılar bu paradokstan çıkmak için İAB kıstasını gevÅŸetmeyi önermiÅŸlerdir. Dereceli seçim sistemlerinin destekçileri İAB’nin gereÄŸinden kuvvetli bir kıstas olduÄŸunu ve gerçek hayattaki durumlarda pek tutmadığını öne sürmektedirler. Gerçekte de en kullanışlı seçim sistemlerinin çoÄŸunda delinen kıstas İAB olmaktadır.
Bu görüşün destekçileri döngüsel tercihlerin dolaylı olarak standart İAB’yi deleceÄŸine dikkati çekmektedirler. EÄŸer seçmenler aÅŸağıdaki gibi oy verirse…
7 oy A > B > C ÅŸeklinde,
6 oy B > C > A ÅŸeklinde
5 oy C > A > B ÅŸeklinde
…bu durumda grubun net tercih sıralaması A > B > C > A ÅŸeklinde oluÅŸur. Bu durumda ilk tercihte çoÄŸunluÄŸu saÄŸlayan adayın kazanması ÅŸeklindeki temel çoÄŸunluk ilkesini saÄŸlayan ve tek bir kazanan seçen tüm sistemler İABK’ını delecektir. GenelliÄŸi kaybetmeden, yukarıdaki oy yanayında B’nin seçimden çekildiÄŸini düşünecek olursak, oy yanayı aÅŸağıdaki aÅŸağıdakine dönüşür:
7 oy A > C ÅŸeklinde
11 oy C > A ÅŸeklinde
Böylece, her ne kadar sistemdeki deÄŸiÅŸim (zaten kazanamayacak olan B’nin çekilmesi) "ilgisiz" olsa da C kazanır.
Dolayısıyla, Arrow’un kuramının gerçekte bize gösterdiÄŸi ÅŸey seçim düzeneÄŸinin öyle önemsiz bir ayrıntı olmadığı, ve çoÄŸu oylama düzeneÄŸinin sonucunu tahmin etmekte oyun kuramının kullanılması gerektiÄŸidir. Bu hayalkırıcı bir sonuç gibi gözükebilir, zira oyunlarda verimli bir dengelenim oluÅŸmak zorunda deÄŸildir, örneÄŸin bir oylama sonucunda aslında kimsenin ilk sıraya koymadığı ama yine de oy verdiÄŸi bir alternatif seçimi kazanabilir.
DiÄŸer olanaklar
AÅŸağıdaki tartışma Arrow’un paradoksuyla baÅŸetmenin "doÄŸru" yolununun kıstaslardan birini ortadan kaldırmakla (veya gevÅŸetmekle) çözüleceÄŸi düşüncesi üzerine kuruludur. Bu doÄŸrultuda İAB kriteri en doÄŸal adaydır. Ancak baÅŸka "çıkar yol"lar da vardır.
Duncan Black, seçeneklerin deÄŸerlendirilmesinde tek bir dünya görüşünün temel alınması halinde Arrow’un bütün belitlerininçoÄŸunluk kuralı aracılığıyla saÄŸlanacağını göstermiÅŸtir. Matematiksel açıdan söylersek, toplumsal refah iÅŸlevinin etki alanını uygun biçimde kısıtlarsak sorun yaÅŸamayacağımız anlamına gelir. ÖrneÄŸin, bir kurumun sorunlarını çözmek için iki ana dünya görüşü varsa ve kurumun baÅŸkan adayları kendi aralarında küçük farklar gösterdikleri halde görüş açısından bu iki ana yaklaşımdan birinin yakınında (odağında) bulunuyorsa, bu dünya görüşlerinden birini devre dışı bırakmak, Arrow’un kıstaslarının saÄŸlanmasını saÄŸlayabilecektir. Black’in getirdiÄŸi kısıt, yani "tek odaklı seçenek" ilkesi, alternatif kümede önceden belirlenmiÅŸ bir P doÄŸrusal sıralaması olduÄŸunu söyler. Her seçmenin gözde adayı bu sıralamada belli bir yerdedir ve bu gözde seçenekten uzaklaÅŸtıkça seçmen alternatiflerden soÄŸur.
Gerçekten de pek çok toplumsal refah iÅŸlevi, etki alanlarındaki böyle bir kısıtlama sonucunda Arrow’un kıstaslarını saÄŸlamaktadır. Ancak bu ÅŸekilde herhangi bir kısıtlama söz konusu olduÄŸunda, eÄŸer Arrow’un kıstaslarını saÄŸlayan herhangi bir toplumsal refah iÅŸlevi varsa, "çoÄŸunluÄŸun oyu"nun da Arrow’un kıstaslarını saÄŸlayacağı ispat edilmiÅŸtir. [1] Dolayısıyla tek odaklı seçimlerde çeÅŸitli açılardan en uygun seçim düzeneÄŸi "dereceli seçenekler" deÄŸil de "çoÄŸunluÄŸun oyu" olmaktadır.
Paradoksun "çıkar yol"larından biri de alternatifler kümesinin elemanlarını ikiye düşürmektir. Böylece ikiden fazla seçenek arasında seçim yapmak gerektiğinde, seçenekleri çiftleştiren ve çiftler halinde oy verdiren bir düzenek kurmak çok cazip bir seçenek olarak görülebilir. Bu seçenek ilk bakışta ne kadar cazip görünürse görünsün, genellikle İAB kıstasını bırakın Pareto verimliliği ilkesini dahi sağlamaktan uzaktır. Çiftlerin belirlenme sırası, sonuç üzerinde çok etkili olmaktadır. Bu aslında illâ ki kötü bir özellik sayılmaz. Pek çok spor dalında turnuva düzeneği (temel olarak bir çiftleştirme düzeneğidir) kullanılmaktadır. Bu durum zayıf takımlara önemli avantaj sağlamakta, dolayısıyla turnuvaya heyecan ve gerilim katmaktadır.
Arrow’un özgün çalışmasının ardından baÅŸka olanaksızlıklar ve olanaklılıklar tespit eden topyekûn bir kültür geliÅŸmiÅŸtir. ÖrneÄŸin toplumun tercihinin yarattığı toplumsal tercih sıralama düzeneÄŸini, geçiÅŸlilik koÅŸulunu deÄŸil de sadece döngüsel olmama koÅŸulunu (eÄŸer a, b’den büyükse ve b, c’den büyükse c, a’dan büyük deÄŸildir) saÄŸlayacak ÅŸekilde zayıflatırsak Arrow’un kıstaslarını saÄŸlayan toplumsal tercih kuralları oluÅŸturmak mümkündür.
Ekonomici ve Nobel ödülü sahibi Amartya Sen baÅŸka iki alternatif daha sunmuÅŸtur. Hem geçiÅŸliliÄŸi zayıflatmayı hem de Pareto ilkesini devre dışı bırakmayı önermiÅŸtir. Arrow’un tüm kıstaslarıyla uyuÅŸan ancak sadece yarı-geçiÅŸken sonuçlar üreten oylama sistemlerinin varlığını ortaya koymuÅŸtur.
Kendisi ayrıca "Pareto Liberali’nin İmkansızlığı" adında baÅŸka bir ilginç imkansızlığı ortaya çıkarmıştır. (Ayrıntılar için Liberal Paradoksu maddesini inceleyiniz). Sen bu sonucun ayrıca Pareto optimumluÄŸunun oylama sistemleri açısından gereksiz olduÄŸunu gösterdiÄŸini öne sürmüştür.
Öznitelikli yöneyden sayıl derecelemeler ve İAB özelliği
İAB özelliÄŸinin insanlı karar verme süreçlerinde gerçek anlamda saÄŸlanamayabilmesının sebebi iki parçalıdır:Tercihlerin sayıl derecelenmesinin, öznitelikli bir yöneyin açıktan açığa olmasa da ağırlıklandırılmasından türetilmiÅŸ oluÅŸu (Arrow kuramıyla ilgilenen bir kitapta okuyucuya ÅŸu sorunu çözmeye davet edilir: Bir atletizm dekatlonunu nasıl sayıl ölçüme dökersiniz; disk atmada kazanılan 600 puanı nasıl 1500 m koÅŸuda kazanılan 600 puan ile aynı kefeye koyarsınız?) Yeni bir seçenek, dikkatleri farklı bir özniteliÄŸe veya öznitelik topluluÄŸuna odaklayabilir; bu durum örtülü ağırlıklandırmayı ve dolayısıyla önceki seçeneklerin nihai sayıl derecelerini deÄŸiÅŸtirebilir. ÖrneÄŸin Hilmi’ye Ankara’da ve Trabzon’da iÅŸ teklif edilmiÅŸ olsun ve Hilmi (iÅŸlerin aynı olduÄŸunu göz önüne alarak) gece hayatının daha canlı olması nedeniyle Ankara’yı seçmiÅŸ olsun. Bu esnada bir iÅŸ teklifi de Bursa’dan gelsin. Hilmi Bursa’nın kışlarının soÄŸuk olacağını düşünür, ancak bu anda Ankara’nın kışlarının Trabzon’dan çok daha soÄŸuk olacağını aklına getirir, dolayısıyla ılıman iklimi nedeniyle Trabzon’da karar kılar. Herbert Simon, politik propagandaların halka yeni fikirlerin aşılanmasında pek etkili olmadığını ortaya koyan araÅŸtırmaların "esas olay"ı kaçırdığından bahseder; politik propagandalar seçmenlerin dikkatini zaten bildikleri belli bir takım konulara çekmekte çok etkili olabilmektedir, dolayısıyla seçmenin kararlarında dikkate alması gereken ana noktaların bunlar olduÄŸunu düşünmelerini saÄŸlayabilmektedir.